在數學分析中,中間值定理(英語:intermediate value theorem,又稱介值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:
- 假設
為一連續函數。若一實數
滿足
,則存在一實數
使得
。
中間值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理。
中間值定理圖解
設
,其中
,且
為一連續函數。則下列敘述成立:
- 對任意滿足
的實數
,皆存在一實數
使得
。
為一包含
與
的閉區間。
先證明第一種情況
;第二種情況也類似。
設
為
內所有
的集合,使得
。那麼
是非空的,因為
是
的一個元素,且
是上有界的,其上界為
。於是,根據實數的完備性,最小上界
一定存在。我們來證明
。
- 假設
。那麼
,因此存在
,使得當
時,就有
,因為
是連續函數。但是,這樣一來,當
時,就有
(也就是說,對於
內的
,
皆
)。但參照上述定義,因為
, 因此存在
,使得
, 所以我們有:
並且
, 這顯然是矛盾的。
- 假設
。根據連續性,存在一個
,使得當
時,就有
。那麼對於
內的
,都有
,因此存在大於
的
,使得
,這與
的定義矛盾。
因此
。
與實數完備性的關係[編輯]
此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數
滿足
,但不存在滿足
的有理數
。
零點定理(波爾查諾定理)[編輯]
零點定理是中間值定理的一種特殊情況-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:
- 設函數
在閉區間
上連續,且
,則必存在
使
成立。由於零點定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯納德·波爾查諾於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即中間值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]
現實世界中的意義[編輯]
中間值定理意味着在地球的任何大圓上,溫度、壓強、海拔、二氧化碳的濃度(或其他任何連續變化的變量),總存在兩個對蹠點,在這兩個點上該變量的值是相同的。
證明:取f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線,與圓相交於點A和點B。設d為f(A) − f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度,將得到值−d。根據中間值定理,一定存在某個旋轉角,使得d = 0,在這個角度上便有f(A) = f(B)。
這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。
參考資料[編輯]
外部連結[編輯]