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介值定理

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數學分析中,介值定理(英語:intermediate value theorem,又稱介值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

假設 為一連續函數。若一實數 滿足 ,則存在一實數 使得

介值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

定理

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介值定理圖解

定理敘述

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中間值定理 — ,且 為一連續函數。則下列敘述成立:

  • 對任意滿足 的實數 ,皆存在一實數 使得
  • 值域為一閉區間。

證明

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先證明第一種情況 ;第二種情況也類似。

為所有滿足 所構成的集合。由 可知 非空。由於 具有上界 ,故由實數的完備性最小上界 。我們以反證法證明

  • 首先假設 。由於 連續,我們能找到正實數 使得 對所有 均成立。由於 ,故存在滿足 ;此時 ,故 ,即 ,與 矛盾。故原假設 不成立。
  • 接著假設 。由於 連續,我們能找到正實數 使得 對所有 均成立。設 ;此時 ,即 ,故 。這會導致 不是 的上界,矛盾。故原假設 不成立。

因此

與實數完備性的關係

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此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數滿足,但不存在滿足的有理數

零點定理(波爾查諾定理)

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零點定理是介值定理的一種特殊情況-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

設函數在閉區間上連續,且,則必存在使成立。由於零點定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理伯納德·波爾查諾於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]

現實世界中的意義

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介值定理意味着在地球的任何大圓上,溫度壓強海拔二氧化碳濃度(或其他任何連續變化的變量),總存在兩個對蹠點,在這兩個點上該變量的值是相同的。

證明:f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線,與圓相交於點A和點B。設df(A) − f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度,將得到值−d。根據介值定理,一定存在某個旋轉角,使得d = 0,在這個角度上便有f(A) = f(B)。

這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。

參見

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參考資料

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 

外部連結

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