达布定理

在实分析中，达布定理（英語：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若 $f$ 为可导函数，则对任意区间 $I$ ， $f'(I)$ 仍为区间。

当函数 $f$ 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 $f'$ 不连续时，达布定理说明 $f'$ 仍具有介值性质。

内容

设 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的可导实函数，那么对介于 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 之间的任意 $y$ ，存在 $x\in [a,b]$ 使得 $f'(x)=y$ 。

证明

不失一般性，可假设 $f\,'_{+}(a)>y>f\,'_{-}(b)$ 。又设 $g(x):=f(x)-tx$ ，则 $g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)$ 。只需找到 $g'$ 在 $[a,b]$ 上的一个零点即可。

由于 $g$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，由極值定理， $g$ 在 $[a,b]$ 上达到极大值。由于 $g'_{+}(a)>0$ ，极大值不在 $a$ 处取到。同理，由于 $g'_{-}(b)<0$ ，极大值也不在b处取到。设 $x$ 为取到极大值的点，这时， $g\,'(x)=0$ 。于是定理得证。