達布定理

在實分析中，達布定理（英語：Darboux's theorem）得名於讓·加斯東·達布。達布定理說明所有實函數的導數都具有介值性質：實導函數對任意區間的值域仍是區間。即，若 $f$ 為可導函數，則對任意區間 $I$ ， $f'(I)$ 仍為區間。

當函數 $f$ 是一階連續可導函數時，由介值定理，達布定理顯然成立。當導函數 $f'$ 不連續時，達布定理說明 $f'$ 仍具有介值性質。

內容

設 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 為閉區間 $[a,b]$ 上的可導實函數，那麼對介於 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 之間的任意 $y$ ，存在 $x\in [a,b]$ 使得 $f'(x)=y$ 。

證明

不失一般性，可假設 $f\,'_{+}(a)>y>f\,'_{-}(b)$ 。又設 $g(x):=f(x)-tx$ ，則 $g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)$ 。只需找到 $g'$ 在 $[a,b]$ 上的一個零點即可。

由於 $g$ 是 $[a,b]$ 上的連續函數，由極值定理， $g$ 在 $[a,b]$ 上達到極大值。由於 $g'_{+}(a)>0$ ，極大值不在 $a$ 處取到。同理，由於 $g'_{-}(b)<0$ ，極大值也不在b處取到。設 $x$ 為取到極大值的點，這時， $g\,'(x)=0$ 。於是定理得證。