极值定理

闭区间$[a,b]$上的连续函数$f(x)$，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。

在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数$f$在闭区间$[a,b]$上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在$[a,b]$内的$c$和$d$，使得：

$f(c)\geq f(x)\geq f(d)$对于所有$x\in [a,b]$。

一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间$[a,b]$内的连续函数$f$在该区间上有界。也就是说，存在实数$m$和$M$，使得：

$m\leq f(x)\leq M$对于所有$x\in [a,b]$。

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

定理的证明

我们来证明$f$的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数$-f$，也可推出$f$的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

有界性定理的证明

假设函数$f$在区间$[a,b]$内連續且没有上界，那么对于每一个自然数$n$，都存在$[a,b]$内的一个$x_{n}$，使得$f(x_{n})>n$（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个序列$\{x_{n}\}$。

由于$[a,b]$是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在$\{x_{n}\}$的一个收敛的子序列$\{x_{n_{k}}\}$。把它的极限记为$x$。由于$[a,b]$是闭区间，它一定含有$x$。因为$f$在$x$处连续，我们知道$\{f(x_{n_{k}})\}$收敛于实数$f(x)$。

但对于所有的$k$，都有$f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k$，这意味着$\{f(x_{n_{k}})\}$发散于无穷大。

前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，$f$在$[a,b]$内有上界。同理$f$在$[a,b]$内有下界。证毕。

极值定理的证明1

基本步骤为：

1. 寻找一个序列，它的像收敛于$f$的最小上界。
2. 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
3. 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数$f$在区间$[a,b]$内有最大值。根据有界性定理，$f$有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，$f$的最小上界$M$存在。我们需要寻找$[a,b]$内的一个$d$，使得$M=f(d)$。设$n$为一个自然数。由于$M$是最小上界，$M-{\frac {1}{n}}$就不是$f$的上界。因此，存在$[a,b]$内的$d_{n}$，使得$M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})$。这便定义了一个序列$\{d_{n}\}$。由于$M$是$f$的一个上界，即便是对于所有的$n$，我们仍有$M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})\leq M$。因此，序列$\{f(d_{n})\}$收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列$\{d_{n_{k}}\}$，它收敛于某个$d$，且由于$[a,b]$是闭区间，$d\in [a,b]$。因为$f$在$d$处连续，所以序列$\{f(d_{n_{k}})\}$收敛于$f(d)$。但$\{f(d_{n_{k}})\}$是$\{f(d_{n})\}$的一个子序列，收敛于$M$，因此$M=f(d)$。所以，$f$在$d$处取得最小上界$M$。证毕。

极值定理的证明2

设$M$是$f$在区间$[a,b]$上的最小上界，我们要证明存在$d\in [a,b]$使得$f(d)=M$。我们使用反证法：如若不然，对任意 $x\in [a,b]$，$f(x)\neq M$，所以，对任意的$x\in [a,b]$，$f(x)<M$。我们考虑正值的函数

$g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.$

因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于$M$是$f(x)$的最小上界，所以存在 $x\in [a,b]$，使得$f(x)$可以无限地接近$M$，从而$g(x)$是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数$g(x)$来证明最大值能在某个$d$取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。

例子

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。

1. 定义在$[0,\infty )$的函数$f(x)=x$没有上界。
2. 定义在$[0,\infty )$的函数$f(x)={\frac {x}{1+x}}$有界，但不取得最小上界1。
3. 定义在$(0,1]$的函数$f(x)={\frac {1}{x}}$没有上界。
4. 定义在$(0,1]$的函数$f(x)=1-x$有界，但不取得最小上界1。

推广到半连续函数

如果把$f$的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值$-\infty$和$+\infty$也可以允许为可能的值。更加精确地：

定理：如果函数$f:[a,b]\rightarrow [-\infty ,\infty )$是上半连续的，也就是说，对于$[a,b]$内的所有$x$，都有：

$\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$，

那么$f$有上界，且取得最小上界。

证明：如果对于$[a,b]$内的所有$x$，都有$f(x)=-\infty$，那么最小上界也是$-\infty$，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，$f$在$x$处的半连续性只意味着子序列$\{f(x_{n_{k}})\}$的上极限有上界$f(x)<\infty$，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，$f$在$d$处的半连续性意味着子序列$\{f(d_{n_{k}})\}$的上极限有上界$f(d)$，但这已足以推出$f(d)=M$的结论。证毕。

把这个结果应用于$-f$，可得：

定理：如果函数$f:[a,b]\rightarrow (-\infty ,\infty ]$是下半连续的，也就是说，对于$[a,b]$内的所有$x$，都有：

$\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$

那么$f$有下界，且取得最大下界。

一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。

参考文献

• Parzynski, William R. Introduction to Mathematical Analysis. McGraw-Hill, Inc. 1982: 102-104. 
• Michael Spivak. Calculus. Cambridge University Press. 2006. 

外部链接

• cut-the-knot上极值定理的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Boundedness Theorem. PlanetMath. 
• Extreme Value Theorem. PlanetMath. 
• 埃里克·韦斯坦因. 极值定理. MathWorld.