代数基本定理

代数基本定理（英語：fundamental theorem of algebra）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有 $n$ 个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有 $n$ 个根。也就是说，任何一个 $n$ 次多项式，都可以因式分解为 $n$ 个複系数一次多项式的乘积。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理論指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

证明

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或複数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有複数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定複系数多项式 $p(z)$，以下的多项式

$q(z)=p(z){\overline {p({\overline {z}})}}$

就是一个实系数多项式，如果 $z$ 是 $q(z)$ 的根，那么z或它的共轭複数就是 $p(z)$ 的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当 $|z|$ 足够大时，首系数为1的 $n$ 次多项式函数 $p(z)$ 的表现如同 $z^{n}$。一个更确切的表述是：存在某个正实数 $R$，使得当 $|z|>R$ 时，就有：

${\frac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\frac {3}{2}}|z^{n}|$

複分析证明

证明一

寻找一个中心为原点，半径为 $r$ 的闭圆盘 $D$，使得当 $|z|\geq r$ 时，就有$|p(z)|>|p(0)|$。因此，$|p(z)|$ 在 $D$ 内的最小值（一定存在，因为 $D$ 是紧致的），是在 $D$ 的内部的某个点 $z_{0}$ 取得，但不能在边界上取得。于是，根据最大模原理，$p(z_{0})=0$。也就是说，$z_{0}$ 是 $p(z)$ 的一个零点（根）。

证明二

由于在 $D$ 之外，有 $|p(z)|>|p(0)|$，因此在整个複平面上，$|p(z)|$ 的最小值在 $z_{0}$ 取得。如果 $|p(z_{0})|>0$，那么${\frac {1}{p}}$在整个複平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个複数 $z$，都有 $|{\frac {1}{p}}(z)|\leq |{\frac {1}{p}}(z_{0})|$。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知 ${\frac {1}{p}}$ 是常数，因此 $p$ 是常数。于是得出矛盾，所以 $|p(z_{0})|=0$。

证明三

这个证明用到了辐角原理。设 $R$ 为足够大的正实数，使得 $p(z)$ 的每一个根的绝对值都小于 $R$；这个数一定存在，因为 $n$ 次多项式函数最多有 $n$ 个根。对于每一个 $r>R$，考虑以下的数：

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,$

其中 $c(r)$ 是中心为0，半径为 $r$ 的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是 $p(z)$ 在中心为0、半径为 $r$ 的开圆盘内的零点的数目 $N$，由于 $r>R$，所以它也是 $p(z)$ 的零点的总数目。另一方面，${\frac {n}{z}}$ 沿着 $c(r)$ 的积分除以 $2\pi i$，等于 $n$。但这两个数的差为：

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.$

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是 $n-1$，而分母的次数是 $n+1$。因此，当 $r$ 趋于 $+\infty$ 时，以上的数趋于0。但这个数也等于 $N-n$，因此有 $N=n$。

证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个 $n>0$ 次複系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个複数特征值。证明用到了反证法。

设 $A$ 为大小 $n>0$ 的方块矩阵，并设 $I_{n}$ 为相同大小的单位矩阵。假设 $A$ 没有特征值。考虑预解函数

$R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},\,$

它在複平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。$A$ 的特征值正好是 $R(z)$ 的极点。根据假设，$A$ 没有特征值，因此函数 $R(z)$ 是整函数，根据柯西积分定理可知：

$\int _{c(r)}R(z)dz=0.\,$

另一方面，把 $R(z)$ 展开为几何级数，可得：

$R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot$

这个公式在半径为 $\lVert A\rVert$ 的闭圆盘的外部（A的算子范数）成立。设 $r>\lVert A\rVert$。那么：

$\int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}$

（仅当 $k=0$ 时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此 $A$ 一定有一个特征值。

拓扑学证明

设 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 为使 $|p(z)|$ 在 $z_{0}$ 取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把 $p(z)$ 写成 $z-z_{0}$ 的多项式：存在某个自然数 $k$ 和一些複数 $c_{k},c_{k+1},\cdots ,c_{n}$，使得 $c_{k}\neq 0$，以及：

$p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}$.

可推出如果 $a$ 是 ${\frac {p(z)-p(z_{0})}{c_{k}}}$ 的一个 $k$ 重根，且 $t$ 是足够小的正数，那么 $|p(z_{0}+ta)|<|p(z_{0})|$，这是不可能的，因为 $|p(z_{0})|$ 是 $|p|$ 在 $D$ 内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设 $p(z)$ 没有根。选择一个足够大的正数 $R$，使得对于 $|z|=R$，$p(z)$ 的第一项 $z^{n}$ 大于所有其它的项的和；也就是说，$|z|^{n}>|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}|$。当 $z$ 依逆时针方向绕过方程为 $|z|=R$ 的圆一次时，$p(z)$，像 $z^{n}$ 那样，依逆时针方向绕过零 $n$ 次。在另外一个极端，$|z|=0$ 时，“曲线” $p(z)$ 仅仅是一个（非零的）点 $p(0)$，它的卷绕数显然是0。如果 $z$ 所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么 $p(z)$ 的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为$H(Re^{i\theta },t)=p((1-t)Re^{i\theta })$，其中 $t$ 大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量 $t$ 视为时间，那么在时间为零时，曲线为 $p(z)$ ，时间为1时，曲线为 $p(0)$。显然在每一个点 $t$，根据原先的假设 $p(z)$ 都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是 $n$，结束时是0，因此得出矛盾。所以，$p(z)$ 至少有一个根。

代数证明

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在 $\mathbb {R}$ 上有实平方根，以及任何奇次多项式在 $\mathbb {R}$ 上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先 $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} (i)$。经过简单的计算可以证明$\mathbb {C}$在开平方运算下是封闭的 $a+bi=(c+di)^{2}$, $c^{2},d^{2}$ 分别是${\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}},{\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}$。结合$char\mathbb {C} =0\neq 2$。得出$\mathbb {C}$不存在二阶扩张。

由于 $char\mathbb {R} =0$，于是任何$\mathbb {R}$的扩张都是可分的，从而任何$\mathbb {R}$的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设$K/\mathbb {R}$、$K/\mathbb {C}$都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群$G=Gal(K/\mathbb {R} )$的西罗2-子群 $H$。那么$[K^{H}:\mathbb {R} ]$是奇数。由本原元定理得出，$K^{H}$ 存在本原元 $\alpha$，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇數次且次數>1的不可分多項式。於是$H=G,K^{H}=\mathbb {R} ,[K:\mathbb {R} ]$是2的幂次。

假设$[K:\mathbb {C} ]=2^{r}$并且 $r>0$，再次利用西罗定理，$G$ 存在一个阶为 $2^{r-1}$ 的子群N。这时$[K^{N}:\mathbb {C} ]=2$。这和先前$\mathbb {C}$不存在二阶扩张矛盾。因此$\mathbb {C}$的任何代数扩张都是$\mathbb {C}$本身，代数基本定理得证。

推论

由于代数基本定理可以视为複数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在複数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与複数域之间的关系的：

• 複数域是实数域的代数闭包。
• 每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、$x+a$ 形式的多项式（$a$ 为实数），以及 $x^{2}+ax+b$ 形式的多项式（$a$ 和 $b$ 为实数，$a^{2}-4b<0$）的乘积。
• 每一个一元实系数有理函数都可以写成 ${\frac {a}{(x-b)^{n}}}$形式的有理函数（其中 $n$ 是自然数，$a$ 和 $b$ 是实数），与 ${\frac {(ax+b)}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}$ 形式的有理函数（其中 $n$ 是自然数，$a$ 、$b$ 、$c$和 $d$ 是实数，$c^{2}-4d<0$）的和。由此可以推出，任何一个一元实系数有理函数都有一个初等的原函数。
• 实数域的任何一个代数扩张要么与实数域同构，要么与複数域同构。

韦达公式

韦达公式把多项式的系数$\lbrace a_{k}\rbrace$与它的根$\lbrace x_{k}\rbrace$的和与积联系起来。

这可以直接从以下等式的展开式推出： $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

参考文献

历史上的文献

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• Euler, Leonhard（萊昂哈德·歐拉）, Recherches sur les racines imaginaires des équations, Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin 5 (Berlin), 1751, 5: 222–288 [2020-05-31], （原始内容存档于2008-12-24） . English translation: Euler, Leonhard, Investigations on the Imaginary Roots of Equations (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin 5 (Berlin), 1751, 5: 222–288 [2016-07-18], （原始内容存档 (PDF)于2018-04-03） 
• Gauss, Carl Friedrich（卡爾·弗里德里希·高斯）, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, 黑尔姆施泰特: C. G. Fleckeisen, 1799 
• 卡爾·弗里德里希·高斯, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree（页面存档备份，存于互联网档案馆）”, 1815
• Kneser, Hellmuth（赫尔穆特·克内泽尔）, Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus, Mathematische Zeitschrift 46, 1940, 46: 287–302 [2008-09-22], ISSN 0025-5874, （原始内容存档于2020-04-09） 
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• Weierstraß, Karl（卡尔·魏尔斯特拉斯）. Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 1085–1101. 1891. 

现代作品

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外部链接

• 代数基本定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）；含有许多证明
• John H. Mathews所作的代数基本定理教程
• 代数基本定理的文献目录