特徵方程式

提示：此条目的主题不是特徵多項式。

特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為数学名詞，是對應n階微分方程或遞迴關係式的n次代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為 $y$，$a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}$為常数

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,$

其特徵方程式如下

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

根據其解 $r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}$可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程

$y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}$

也有其特徵方程式

$r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,$

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。

推導

考慮常係數的線性齊次微分方程 $a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}$,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0$

假設 $y(x)=e^{rx}$，而指數函數 $e^{rx}$ 的導數是本身的倍數，$y'=re^{rx}$, $y''=r^{2}e^{rx}$，$y^{(n)}=r^{n}e^{rx}$。因此上式中的每一項都會是 $e^{rx}$ 的倍數。若 $r$ 為特定值，可以讓 $e^{rx}$ 的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程。為了求解 $r$，可以將 $y=e^{rx}$ 及其導數替換到微分方程中，可以得到

$a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0$。

因為 $e^{rx}$ 不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

求解特徵方程式中的 $r$，可以求得微分方程的通解。例如，若 $r$ 為3，其通解為 $y(x)=ce^{3x}$，其中 $c$ 為積分常數。

有關通解的公式

找到特徵方程式的根 $r_{1},\cdots ,r_{n}$，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有 $h$ 個重根，或是 $k$ 個複數的根，其解分別為$y_{\mathrm {D} }(x)$ , $y_{\mathrm {R} _{1}}(x),\cdots ,y_{\mathrm {R} _{h}}(x)$ 及 $y_{\mathrm {C} _{1}}(x),\cdots ,y_{\mathrm {C} _{k}}(x)$，因此通解為

$y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)$

例子

以下是常係數的線性齊次微分方程

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0$

其特徵方程為

$r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0$

將特徵方程因式分解，可得到

$(r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0$

可以看到 $r$ 的解有一個單根，$r_{1}=3$ 以及重根的複數根 $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$，因此其通解為

$y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)$

其中有常數 $c_{1},\cdots ,c_{5}$。

相異實根

根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理，若 $u_{1},\cdots ,u_{n}$是特定微分方程的 $n$ 個線性無關的解，則 $c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}$ 也是其解，其中 $c_{1},\cdots ,c_{n}$ 為任意常數。因此，若特徵方程有相異實根 $r_{1},\cdots ,r_{n}$，則通解為

$y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}$。

重根實根

若特徵方程式中有重複 $k$ 次的根 $r_{1}$，可以確定 $y_{\mathrm {p} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ 會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他 $k-1$ 的根提供線性獨立的解。因為 $r_{1}$ 為 $k$ 次重根，可以將微分方程改寫為

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0$.

因為 $y_{\mathrm {p} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ 為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式 $y(x)=u(x)e^{r_{1}x}$，其中 $u(x)$ 是待確認的函數。將 $ue^{r_{1}x}$ 代入後可得

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}$

其中 $k=1$。上述的式子應用 $k$ 次，可以得到

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0$

除以 $e^{r_{1}x}$ 後可得

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0$

上述式子若且唯若 $u(x)$ 是 $k-1$ 次的多項式，因此 $u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}$.。因為 $y(x)=ue^{r_{1}x}$，因此通解中對應 $r_{1}$ 的解會是

$y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)$

複數根

若二階微分方程有共轭复数根 $r_{1}=a+bi$ 及 $r_{2}=a-bi$，其對應的通解為 $y(x)=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}$。利用欧拉公式（$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$），可以將通解改寫如下：

${\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}$

其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為 $y(x)$ 是實數，$c_{1}-c_{2}$ 需要是虛數或是零，$c_{1}+c_{2}$ 為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若 $c_{1}=c_{2}={\frac {1}{2}}$，可以得到特解 $y_{1}(x)=e^{ax}\cos bx$，另外，若 $c_{1}={\frac {1}{2i}}$ 及 $c_{2}=-{\frac {1}{2i}}$，可以得到另一個獨立的解 $y_{2}(x)=e^{ax}\sin bx$。利用重疊原則，有 $r=a\pm bi$ 複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：

$y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)$

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。