阿貝爾判別法(Abel test)是一個用於判斷無窮級數是否收斂的方法。阿貝爾判別法有兩種不同的形式,一個是用來判斷實數項級數的收斂,另一個是用來判斷複數項級數的收斂。
實數項級數的阿貝爾判別法[編輯]
給定兩個實數項數列
和
,如果數列滿足
收斂
是單調且有界的
則級數
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33)
收斂。
複數項級數的阿貝爾判別法[編輯]
一個相關的審斂法,也稱為阿貝爾判別法,通常用來判斷冪級數在收斂圓的邊界上的收斂性。如果
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade6aa1879a22b426715883bd5f7fef3048ce71d)
而級數
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c1f2b44a973323b97113c3b5afc380710232ba)
在|z| < 1是收斂,而在|z| > 1時發散,係數{an}是正的實數,當n > m時單調遞減並收斂於零,則f(z)的冪級數在單位圓上處處收斂,除了z = 1以外。當z = 1時,不能使用阿貝爾判別法,所以那個點的收斂性必須另外討論。注意,利用變量代換ζ = z/R,阿貝爾判別法也可以用來判斷收斂半徑R ≠ 1的冪級數的收斂性。[1]
假設z是單位圓上的一個點,z ≠ 1。則
![{\displaystyle z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca448fba643f5db90b3a3cac67ebdbe7e3388a)
所以,對於任何兩個正整數p > q > m,我們有
![{\displaystyle {\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b68a66ba8e70d50d84678f687ecddd42386062)
其中Sp和Sq是部分和:
![{\displaystyle S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fee7412005d1d6b554637c91849523e1e033e5d)
但是,由於|z| = 1,而當n > m時,an是單調遞減的正實數,我們又有
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7567f95288bd57d289c2658b468559ae6c32c85)
現在我們可以使用柯西判別法來證明f(z)的冪級數在z ≠ 1時收斂,因為sin(½θ) ≠ 0是一個定值,而我們可以通過選擇足夠大的q,來使aq+1小於任何給定的ε > 0。
- ^ (Moretti, 1964, p. 91)
參考文獻[編輯]
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
外部連結[編輯]