無理數

無理數（irrational number）是指有理數以外的實數，當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis，意思是「理解」，實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯，是指無法用兩整數之比來說明的無理數。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即無限不循環小數（任何有限或無限循環小數可表示成兩整數的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現，他以幾何方法證明${\sqrt {2}}$無法用整數及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數存在，後來希伯斯觸犯學派章程，將無理數透露給外人，因而被扔進海中處死，其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機。

無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。

舉例

1. ${\sqrt {3}}=$1.73205080…
2. $\log _{10}3=$＝0.47712125…
3. $e=$2.71828182845904523536…
4. ${\textstyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}=}$0.70710678…
5. $\pi =$3.141592653589793238462…

性質

• 無理數加或減有理數必得無理數。
• 無理數乘以或除以不等於0的有理數必得無理數。
• 無理數的平方根、立方根等次方根必得無理數。但無理數的無理數次冪不一定是無理數，如${({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}=2$是有理數。

不知是否是無理數的數

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數。如$\log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}10=1$，${\sqrt {2}}\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}=1$都是無理數與無理數進行四則運算得到有理數的例子。只有一些特定形式的數，如${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$，可以證明是無理數。而$\pi +e$、$\pi -e$等數未知是否是無理數，事實上，對於任何非零整數$m\,$及$n\,$，不知道$m\pi +ne\,$是否無理數。

我們亦不知道$2^{e}\,$、$\pi ^{e}\,$、$\pi ^{\sqrt {2}}$、歐拉－馬歇羅尼常數$\gamma \,$、卡塔蘭常數$G$和費根鮑姆常數是否無理數。

無理數集的特性

無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式

$x^{2}=c\qquad (c>0)$，

選取正實數$\rho \,$使

$\rho ^{2}<c\!$。

經由遞迴處理

${\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}$

無理數之證

證明${\sqrt {2}}$是無理數

假設${\sqrt {2}}$是有理數，且${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$，${\frac {p}{q}}$是最簡分數。

兩邊平方，得$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$。將此式改寫為$2q^{2}=p^{2}$，可見$p^{2}$為偶數。

因為平方運算保持奇偶性，所以$p$只能為偶數。設$p=2p_{1}$，其中$p_{1}$為整數。

代入可得$q^{2}=2p_{1}^{2}$。同理可得$q$亦為偶數。

這與${\frac {p}{q}}$為最簡分數的假設矛盾，所以${\sqrt {2}}$是有理數的假設不成立。

此結論可進一步推廣，當$N$為正整數但不是完全平方數時，${\sqrt {N}}$是無理數。一般地，根據有理數根定理，對於方程式$a_{n}x_{n}^{n}+a_{n-1}x_{n-1}^{n-1}+a_{n-2}x_{n-2}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$，$a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$是整數，$a_{0},a_{n}\neq 0$，方程式的有理數解$x={\frac {p}{q}}$必須滿足$p$是常數項$a_{0}$的整數因子以及$q$是首項$a_{n}$的整數因子，而其他的解是無理數。

證明$\log _{2}3$是無理數

假設$\log _{2}3$是有理數，且$\log _{2}3={\frac {p}{q}}$，那麼有

$2^{p/q}=3$

$(2^{p/q})^{q}=3^{q}$

$2^{p}=3^{q}.$

因為$2^{p}$是偶數，$3^{q}$是奇數，所以得到矛盾，因此$\log _{2}3$是無理數。

參見

• 分劃
• 丟番圖逼近
• 3的主平方根
• 5的主平方根
• 超越數
• 第一次數學危機
• 正規數

外部連結

• 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），有畢氏弄石法的證明
• ${\sqrt {2}}$是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第30卷 第4期）