無理數

無理數（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明${\sqrt {2}}$無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。

無理數可以通過有理數的分划的概念來定義。

举例

1. ${\sqrt {3}}=$1.73205080…
2. $\log _{10}3=$＝0.47712125…
3. $e=$2.71828182845904523536…
4. ${\textstyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}=}$0.70710678…
5. $\pi =$3.141592653589793238462…

性质

• 无理数加或减有理数必得无理数。
• 无理数乘以或除以不等于0的有理数必得无理数。
• 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。但无理数的无理数次幂不一定是无理数，如${({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}=2$是有理数。

不知是否是無理數的數

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數。如$\log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}10=1$，${\sqrt {2}}\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}=1$都是无理数与无理数进行四则运算得到有理数的例子。只有一些特定形式的数，如${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$，可以证明是无理数。而$\pi +e$、$\pi -e$等数未知是否是无理数，事实上，對于任何非零整數$m\,$及$n\,$，不知道$m\pi +ne\,$是否無理數。

我們亦不知道$2^{e}\,$、$\pi ^{e}\,$、$\pi ^{\sqrt {2}}$、欧拉－马歇罗尼常数$\gamma \,$、卡塔兰常数$G$和费根鲍姆常数是否無理數。

無理數集的特性

無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式

$x^{2}=c\qquad (c>0)$，

選取正實數$\rho \,$使

$\rho ^{2}<c\!$。

經由遞迴處理

${\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}$

無理數之證

證明${\sqrt {2}}$是无理数

假设${\sqrt {2}}$是有理数，且${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$，${\frac {p}{q}}$是最简分数。

两边平方，得$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$。将此式改写为$2q^{2}=p^{2}$，可见$p^{2}$为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以$p$只能为偶数。设$p=2p_{1}$，其中$p_{1}$为整数。

代入可得$q^{2}=2p_{1}^{2}$。同理可得$q$亦为偶数。

这与${\frac {p}{q}}$为最简分数的假设矛盾，所以${\sqrt {2}}$是有理数的假设不成立。

此结论可进一步推广，当$N$为正整数但不是完全平方数时，${\sqrt {N}}$是无理数。一般地，根据有理数根定理，对于方程$a_{n}x_{n}^{n}+a_{n-1}x_{n-1}^{n-1}+a_{n-2}x_{n-2}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$，$a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$是整数，$a_{0},a_{n}\neq 0$，方程的有理数解$x={\frac {p}{q}}$必须满足$p$是常数项$a_{0}$的整数因子以及$q$是首项$a_{n}$的整数因子，而其他的解是无理数。

证明$\log _{2}3$是无理数

假设$\log _{2}3$是有理数，且$\log _{2}3={\frac {p}{q}}$，那么有

$2^{p/q}=3$

$(2^{p/q})^{q}=3^{q}$

$2^{p}=3^{q}.$

因为$2^{p}$是偶数，$3^{q}$是奇数，所以得到矛盾，因此$\log _{2}3$是无理数。

参见

• 分划
• 丢番图逼近
• 3的算术平方根
• 5的算术平方根
• 超越数
• 第一次數學危機
• 正規數

外部連結

• 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 （页面存档备份，存于互联网档案馆），有畢氏弄石法的證明
• ${\sqrt {2}}$是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第30卷 第4期）