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無理數

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無理數(irrational number)是指有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩整數之比來說明的無理數。

有理數實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多,並且不會循環,即無限不循環小數(任何有限或無限循環小數可表示成兩整數的比)。常見無理數有大部分的平方根πe(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式

傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現,他以幾何方法證明無法用整數分數表示;而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數存在,後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被扔進海中處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機

無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。

舉例

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  1. =1.73205080…
  2. 3=0.47712125…
  3. e=2.71828182845904523536…
  4. sin 45°==0.70710678…
  5. π=3.141592653589793238462…

性質

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  • 無理數加或減無理數不一定得無理數,如
  • 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。
  • 無理數的平方根立方根等次方根必得無理數。

不知是否是無理數的數

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π+e、π-e等,事實上,對於任何非零整數,不知道是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有π-π=0、等除外。

我們亦不知道歐拉-馬歇羅尼常數卡塔蘭常數費根鮑姆常數是否無理數。

無理數集的特性

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無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式

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選取正實數使

經由遞迴處理

無理數之證

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證明是無理數

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假設是有理數,且是最簡分數。

兩邊平方,得。將此式改寫為,可見為偶數。

因為平方運算保持奇偶性,所以只能為偶數。設,其中為整數。

代入可得。同理可得亦為偶數。

這與為最簡分數的假設矛盾,所以是有理數的假設不成立。

證明是無理數

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假設是有理數,兩邊平方得

其中因為是有理數,所以也是有理數。

透過證明為無理數的方法,其中為一非完全平方數

可以證明是無理數

同樣也推出是無理數

但這又和是有理數互相矛盾

所以是一無理數

證明是無理數

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證一

同樣,假設是有理數,兩邊平方得

於是是有理數。兩邊再次平方,得:

於是

由於是有理數,所以

透過證明形如的數是無理數的方法,得出也是一無理數

但這結果明顯和皆為有理數出現矛盾,故為無理數

證二

同樣假設是有理數,

,兩邊平方:

證明形式的數是無理數的方法,得出是無理數

也是矛盾的。

證明是無理數

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,兩邊平方得

,得到為一有理數

,兩邊繼續平方:

由於皆為有理數

亦為有理數

證明形式的數是無理數的方法可知為無理數

這和是有理數衝突

所以得證為無理數

參見

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外部連結

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