艾森斯坦整数

艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。

艾森斯坦整数是具有以下形式的复数：

$z=a+b\omega \,\!$

其中a和b是整数，且

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}$

是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

艾森斯坦整数环是仅有的九个由$\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})~(D<0)$中的代数整数构成的主理想环之一。另外的八个分别是$D=-1,-2,-7,-11,-19,-43,-67,-163$。

性质

艾森斯坦整数在代数数域$\mathbb {Q} (\omega )$中形成了一个代数数的交换环。每一个$z=a+b\omega$都是首一多项式

$z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!$

的根。特别地，$\omega$满足以下方程：

${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$

因此，艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由以下的公式给出：

$|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

因此它总是整数。由于：

$4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!$

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群，是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是：

$\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}$

它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

设$x$和$y$是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数$z$，使得$y=zx$，则我们说$x$能整除$y$。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数$x$是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是$ux$的形式，其中$u$是六次单位根的任何一个。

我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式$x^{2}-xy+y^{2}$，因此可以分解为$(x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)$。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数$a+b\omega$，只要范数$a^{2}-ab+b^{2}$为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数N由以下的公式给出：

$N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

这是因为：

${\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}$

参见

• 高斯整数

参考文献

• Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
• Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
• Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
• Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部链接

• MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）