数列极限

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数列极限（英语：limit of a sequence）为某些数列才拥有的特殊值，当数列的下标越来越大的时候，数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

极限的定义 — 取一复数数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$，若有一复数 $z\in \mathbb {C}$ ，使得

“对于任意的正实数 $\epsilon >0$，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，则 $|z_{i}-z|<\epsilon$ ”

用正式的逻辑语言来表示即

$(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]$

则称数列${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$收敛于 $z$（convergent to $z$ ），并记作

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

如果不存在这样的复数 $z\in \mathbb {C}$，则称 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是发散的（divergent）。

实数数列的极限

从上面的定义可以证明，对实数数列 $\{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 来说，若

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

则其极限 $z$ 一定为实数 ，

证明
假设 $z$ 的虚部 $\operatorname {Im} (z)\neq 0$ 的话，则对极限定义取 $\epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0$ 的话，会存在 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$有 $|z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|$ 这是矛盾的，所以根据反证法，$\operatorname {Im} (z)=0$ ，即 $z\in \mathbb {R}$ 。$\Box$

基本性质

唯一性

定理 — 若数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的极限存在，则极限是唯一的。

证明

设数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 有两个不相等的极限值$z,\,z^{\prime }\in \mathbb {C}$，则根据假设，对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$，使任意 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|z_{i}-z|<{\frac {\epsilon }{2}}$ $|z_{i}-z^{\prime }|<{\frac {\epsilon }{2}}$ 这样根据三角不等式，对任意的 $\epsilon >0$ ， 只要自然数 $i>n$ 就有则 $|z-z^{\prime }|=|(z-z_{i})-(z^{\prime }-z_{i})|\leq |z-z_{i}|+|z^{\prime }-z_{i}|<\epsilon$ 这样的话，根据不极限不相等的假设有 $|z-z^{\prime }|>0$ 所以可以取$\epsilon =|z-z^{\prime }|$而得到 $|z-z^{\prime }|<|z-z^{\prime }|$ 这样是矛盾的，故根据反证法， $|z-z^{\prime }|=0$ ，也就是 $z=z^{\prime }$，故极限唯一。$\Box$

有界性

定理 — 若复数数列$\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$有极限，则存在正实数 $M>0$ ，使得对所有的自然数 $i\in \mathbb {N}$ 都有 $|x_{i}|\leq M$。

（即 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有极限则必为有界数列）

证明
因为$\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$有极限，所以有复数 $L\in \mathbb {C}$ 满足 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ 这样的话，对于 $\epsilon =1>0$ ，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，则 $|x_{i}-L|<\epsilon =1$ 从而 $|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$ 这样的话，令 $M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)$ 就会有 $|x_{i}|\leq M$ 故得证。$\Box$

根据实质条件的意义，上面的定理等价于“如果一个复数数列无界，则这个复数数列一定发散。”

注意有界数列不一定有极限，如数列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，在假设可数版本的选择公理成立的情况下，则可以证明此数列有极限。

保序性

定理 — 有实数数列 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

则“$a>b$ ”等价于“存在$n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $x_{i}>y_{i}$”。

证明

左至右： 取$\epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$，则由前提假设，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}$ $|y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}$ 从而 $y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ 故 $y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$ 这样取 $n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ ，左至右就得证。$\Box$ 右至左： 由前提假设，对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}$ 就有 $\epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a$ $\epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b$ $x_{i}>y_{i}$ 从而 $0<x_{i}-y_{i}<a-b$ 故得证。$\Box$

四则运算定理

加减法定理 — 有复数数列 $\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

则

$\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b$

证明

对任意$\epsilon >0$ 有 ${\frac {\epsilon }{2}}>0$ ，所以根据前提，对 $\epsilon >0$ 存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}$ $|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$ 这样根据三角不等式有 $|(x_{i}-y_{i})-(a-b)|\leq |x_{i}-a|+|b-y_{i}|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$ $|(x_{i}+y_{i})-(a+b)|\leq |x_{i}-a|+|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$ 故得证。$\Box$

乘法定理 — 有复数数列 $\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

则

$\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b$

证明

对任意正整数$j\in \mathbb {N}$ 有 $x_{j}(y_{j}-b)+b(x_{j}-a)=x_{j}y_{j}-ab$ (1) 且根据上面的有界性，存在$M>0$ 使得 $|x_{j}|\leq M$ (2) 那对任意的$\epsilon >0$ 有 ${\frac {\epsilon }{|b|+M}}>0$ ，所以根据前提，对 $\epsilon >0$ 存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}$ $|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}$ 这样根据三角不等式和(1)(2)式就有 $|x_{i}y_{i}-ab|\leq |x_{i}||y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|\leq M|y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|<M{\frac {\epsilon }{|b|+M}}+|b|{\frac {\epsilon }{|b|+M}}=\epsilon$ 故得证。$\Box$

除法定理 — 
有实数数列${\{x_{i}\in \mathbb {R} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 满足

(1) $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

(2) $a\neq 0$

(3) 存在正整数$m\in \mathbb {N}$ 使任意正整数 $j\in \mathbb {N}$ 只要 $j>m$ 则$x_{j}\neq 0$

则

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{a}}$

证明

根据前提(1)，对 ${\frac {|a|}{2}}>0$ 存在 $n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $a-{\frac {|a|}{2}}<x_{i}<a+{\frac {|a|}{2}}$ (a) 根据实数系的三分律跟前提(2)，不是 $a>0$ 就是 $a<0$； 先假设$a>0$ ，那根据(a)有 ${\frac {|a|}{2}}={\frac {a}{2}}<x_{i}=|x_{i}|$ (b) 另一方面，若$a<0$，同样根据(a)有 $x_{i}<{\frac {a}{2}}<0$ (c) 所以综合(b)(c)，可以结论 “存在 $n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有${\frac {1}{|x_{i}|}}<{\frac {2}{|a|}}$”(d) 那对任意的$\epsilon >0$ 有 ${\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}>0$ ，所以根据前提(2)(3)和式(d)，对 $\epsilon >0$ 存在 $n_{1}\in \mathbb {N}$ ，使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n,\,m\}$ 就有 $\left|{\frac {1}{x_{i}}}-{\frac {1}{a}}\right|={\frac {|x_{i}-a|}{|a||x_{i}|}}<{\frac {2|x_{i}-a|}{|a|^{2}}}<{\frac {2}{|a|^{2}}}\cdot {\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}=\epsilon$ 故得证。$\Box$

以上的除法定理配上乘法定理，就可以对一般${\frac {x_{i}}{y_{i}}}=x_{i}\cdot {\frac {1}{y_{i}}}$的状况取极限。

审敛法

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

柯西数列

主条目：柯西序列

参看

• 级数
• 函数极限