等数位数

用古氏积木说明合数10是等数位数，10有二位数，而其筫因数分解2 × 5也是二位数

等数位数（equidigital number）是指一正整数质因数分解（包括指数）的总位数和整数本身的位数相等。例如：在10进制中，10的质因数分解为2×5，总位数是2位，和整数本身位数相等，因此为等数位数。

前几个等数位数为：1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 35, 37, 41……（OEIS数列A046758）

质数的质因数分解即为本身，因此不论在哪一种进制时，所有质数都是等数位数，因此等数位数有无限多个。等数位数中除了质数外，也包括一些合数。

等数位数是数学家贝尔纳多·雷卡曼·桑托斯在1995年提出的。

数学定义

令$b>1$为进制的数字，$K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ 为自然数$n$在$b$进制下的位数。自然数$n$的质数分解为n

$n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}$

其中$v_{p}(n)$是$n$的P进赋值，则$n$在$b$进制下为等数位数，若

$K_{b}(n)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).$

相关条目

• 节俭数：质因数分解（包括指数）总位数小于整数本身位数的正整数。
• 奢侈数：质因数分解（包括指数）总位数大于整数本身位数的正整数。
• 史密夫数

参考资料

• R.G.E. Pinch (1998), Economical Numbers.