元完全數

元完全數（unitary perfect number）是指一整數其元因數的和等於整數的2倍，元因數是一種特殊的因數，一整數n若有元因數d，則d及n/d互質。

完全數和元完全數是不同的概念，有些完全數不是元完全數（例如28），而也有些數是元完全數，但不是完全數（例如60）。目前只有6同時是元完全數和完全數。

已知的例子

60的元因數有1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 60，元因數和為1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 + 60 = 120 = 60 * 2，因此60是元完全數，目前已知的幾個元完全數為

• $6=2\times 3$
• $60=2^{2}\times 3\times 5$
• $90=2\times 3^{2}\times 5$
• $87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13$
• $146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313$ （OEIS數列A002827）。

其元因數的和是：

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisors in the sum)

性質

沒有奇數的元完全數。

目前還不知道元完全數是否有無限多個，也還不知道除了上述五個元完全數外，是否還有其他的元完全數。若存在第六個元完全數，至少會有九個相異的質因數。

參考資料

• Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004: 84–86. ISBN 0-387-20860-7.  Section B3.
• Paulo Ribenboim. My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. 2000: 352. ISBN 0-387-98911-0.