不尋常數

用古氏积木說明10是不尋常數，10的最大質因數是5，大於√10 ≈ 3.16

不尋常數（英語：unusual number）是指一整數n的最大質因數大於${\sqrt {n}}$。

Daniel H Greene和高德纳在《Mathematics for the Analysis of Algorithms》一書中的問題中有類似的定義，但其定義是最大質因數大於等於平方根，而書中沒有說明這類的數字不尋常的原因。

所有質數均為不尋常數。針對質數$p$，其小於$p^{2}$的倍數，也就是$p,\dots ,(p-1)p$，都會是不尋常數。

k-光滑數是指其最大質因數小於或等於k，因此若整數n不是${\sqrt {n}}$光滑數，此整數就是不尋常數。

例子

前幾個不尋常數為：

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67.... （OEIS數列A064052）

前幾個非質數的不尋常數為：

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102.... （OEIS數列A063763）

分佈

若用u(n)表示小於等於n的整數中的不尋常數個數，u(n)和n有以下的關係：

n	u(n)	u(n) / n
10	6	0.6
100	67	0.67
1000	715	0.72
10000	7319	0.73
100000	73322	0.73
1000000	731660	0.73
10000000	7280266	0.73
100000000	72467077	0.72
1000000000	721578596	0.72

數學家理查德·施羅培爾在1972年證明了若任意選擇整數，選到不尋常數的漸進機率為ln(2)，也就是說：

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.$

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Rough Number. MathWorld.