夹挤定理(英语:Squeeze theorem),又称夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理,是有关函数的极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同,且有第三个函数的值在这两个函数之间,则第三个函数在该点的极限也相同[1]。
设
为包含某点
的区间,
为定义在
上,可能不包含a点的函数。若对于所有属于
而不等于
的
,有:
![{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f75c03b6ad428754e1884a9d4f7d9f819714a9)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a1f0b50811635b246c8466a08657bc44d2507a)
则
。
和
分别称为
的下界和上界。
若在
的端点,上面的极限是左极限或右极限。
对于
,这个定理还是可用的。
有关正弦函数的极限[编辑]
对于
,
在任何包含0的区间上,除了
,
均有定义。
对于实数值,正弦函数的绝对值不大于1,因此
的绝对值也不大于
。设
,
:
![{\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94611f8e08ebb8ab007b175c454dd3e63083f366)
![{\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fce8eb24ab9d297810bf2acb2d1934699deced)
![{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f75c03b6ad428754e1884a9d4f7d9f819714a9)
,根据夹挤定理
。
对于
,
首先用几何方法证明:若
,
。
称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。
在
上,使得
垂直
。过
作单位圆的切线,与
的延长线交于
。
由定义可得
,
。
![{\displaystyle AC<AD<arcAD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b053ee9effcdd74404a608e7cf81c9af515bc16)
![{\displaystyle \sin x<x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b309e3ce008d7928ce761351ca364e3598d500)
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2795eafe77d60b29ba745617d05219d12e50564)
![{\displaystyle arcAD<AE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8cdc24d8ca8e60a0fffd400f3a5946010068a5)
![{\displaystyle x<\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4618346596c2de875d6fd0d1c0a5559dc125c4)
![{\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775300f1066f2d462a6ccc4289aac9856210f1c1)
因为
,根据夹挤定理
。
另一边的极限可用这个结果求出。
高斯函数[编辑]
高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。
一般高斯函数的积分是
,现在要求的是
。
被积函数对于y轴是对称的,因此
是被积函数对于所有实数的积分的一半。
这个二重积分在一个
的正方形内。它比其内切圆大,比外接圆小。这些可用极坐标表示:
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63afd67f3bf5658016760cc7929b4572c929ba48)
![{\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0e714fe18ceb1911d72e24eac81f3e045c22cd)
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe163152aa218d8b76ea263f3a313a397f1d3dd)
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6187baa771ded225e6d00723ab1f44dc9e8554)
![{\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae6db46b3509797276eea606af4fbc7ea5ef822)
极限为0的情况[编辑]
若
,
,而且
。
设
,根据函数的极限的定义,存在
使得:若
,则
。
由于
,故
。
若
,则
。于是,
。
一般情况[编辑]
当
:
![{\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe273d6eb93dc121514b9d92019949edb35a3ee5)
- 根据上面已证的特殊情况,可知
。
。
- ^ Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.