魏尔施特拉斯逼近定理

斯通—魏尔施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一个分析学上的定理，其描述了在紧致豪斯多夫空间$(X,\tau )$上的实数连续函数$C(X,\mathbb {R} )$能够被较小的函数集逼近的条件。

定义

对于紧致豪斯多夫空间 $(X,\tau )$以及${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，我们定义

• ${\mathcal {A}}$是一个代数 (algebra) 如果${\mathcal {A}}$是一个实数子空间，并且对于所有$f,g\in {\mathcal {A}}$，$fg\in {\mathcal {A}}$。
• ${\mathcal {A}}$分离相异点(separates points)如果对于所有相异$x,y\in X$，存在$f\in C(X,\mathbb {R} )$使得$f(x)\neq f(y)$。
• ${\mathcal {A}}$是一个晶格 (lattice) 如果对于所有$f,g\in {\mathcal {A}}$，$\min(f,g),\max(f.g)\in {\mathcal {A}}$。

叙述

对于紧致豪斯多夫空间 $(X,\tau )$以及分离相异点的闭子代数${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，那么${\mathcal {A}}$是以下两个情况之一：

1. ${\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )$；
2. 存在一个$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。

且(1)当且仅当$1\in {\mathcal {A}}$；(2)当且仅当存在$x_{0}\in X$使得对于所有$g\in {\mathcal {A}}$$g(x_{0})=0$。

注意：由于${\mathcal {A}}$分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的$x_{0}$是唯一的。

证明

引理Ａ：如果将$\mathbb {R} ^{2}$视为一个实数向量空间，且两向量间乘法定义为$(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})\mapsto (x_{1}x_{2},y_{1}y_{2})$，那么$\mathbb {R} ^{2}$是个代数。且所有子代数只能是以下几个情况：

1. $\mathbb {R} ^{2}$；
2. $\{(0,0)\}$；
3. $v$的线性生成空间，其中$v=(1,0),(0,1),(1,1)$。

证明：显然，(1), (2)跟(3)都是子代数。如果${\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$是一个子代数，那么因为${\mathcal {A}}$是一个子空间。那么如果$\dim({\mathcal {A}})=0,2$，对应到(1), (2)。如果$\dim({\mathcal {A}})=1$，那么存在一个非零向量$v=(a,b)$使得${\mathcal {A}}={\text{span}}(v)$。那么因为${\mathcal {A}}$是一个代数，存在$\lambda \in \mathbb {R}$使得$a^{2}=\lambda a,b^{2}=\lambda b$。所以$a(\lambda -a)=0,b(\lambda -b)=0$ 。如果$a\neq 0,b\neq 0$，那么$a=b=\lambda$，对应到(3)中$v=(1,1)$的情况；如果$a,b$其一非零，则对应到(3)中$v=(0,1),(1,0)$的情况。$\square$

引理B：对于豪斯多夫空间$X$和分离相异点的子代数${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，以及相异点$x,y\in X$，定义${\mathcal {A}}_{xy}=\{(g(x),g(y)):g\in {\mathcal {A}}\}$。那么只能是以下两个情况：

1. 对于所有相异$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}$。
2. 存在一组相异$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}$。

另外，(2)等价于存在一个$x_{0}\in X$使得对于所有$g\in {\mathcal {A}}$，$g(x_{0})=0$。

注意：由于${\mathcal {A}}$分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的$x_{0}$是唯一的。

证明：显然，对于所有相异$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}$是一个子代数。根据引理A，只需要证明对于所有相异$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}$不可能是${\text{span}}\{(1,1)\},{\text{span}}\{(0,0)\}$，但这显然成立，因为${\mathcal {A}}$分离相异点以及。 接着证明(2)的等价：如果存在一组相异$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}$，那么根据${\mathcal {A}}_{xy}$的定义，存在一个$x_{0}\in X$使得对于所有$g\in {\mathcal {A}}$，$g(x_{0})=0$。相反地，如果存在一个$x_{0}\in X$使得对于所有$g\in {\mathcal {A}}$，$g(x_{0})=0$，那么对于所有相异于$x_{0}$的$y\in X$，我们有${\mathcal {A}}_{{x_{0}}y}={\text{span}}\{(0,1)\}$。$\square$

引理C：对于任意$\epsilon >0$，存在一个实多项式$P$使得$P(0)=0$，且对于所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P(x)|<\epsilon$。

证明：令$P_{0}\equiv 0$，$P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+{\frac {x^{2}-P_{n}^{2}(x)}{2}}$。那么根据数学归纳法可以证明：

1. 对于所有$x\in [-1,1]$，$0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x|$。
2. 对于所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P_{n}(x)|\leq |x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}$。

因为$|x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}\leq {\frac {1}{n+1}}$，得证。$\square$

引理D：对于紧致豪斯多夫空间$X$和闭子代数${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，如果$g\in {\mathcal {A}}$，那么$|g|\in {\mathcal {A}}$，且${\mathcal {A}}$是一个晶格。

证明：对于非零函数$g\in {\mathcal {A}}$，令$h={\frac {g}{\lVert g\rVert _{\infty ,X}}}$，其中$\lVert \cdot \rVert _{\infty ,X}$是在$X$上的无穷范数。那么因为$-1\leq h\leq 1$根据引理C，存在一个存在一个实多项式$P$使得$P(0)=0$，且对于所有$x\in X$，有$||h(x)|-P(h(x))|<\epsilon$。因为$P(0)=0$，所以$P(h(x))\in {\mathcal {A}}$。因为$\epsilon >0$是任意的，所以$|h|\in {\mathcal {A}}\implies |g|=\lVert g\rVert _{\infty ,X}|h|\in {\mathcal {A}}$。对于任意$f_{1},f_{2}\in {\mathcal {A}},\max(f_{1},f_{2})={\frac {|f_{1}-f_{2}|+(f_{1}+f_{2})}{2}}\in {\mathcal {A}},\min(f_{1},f_{2})=-\max(-f_{1},-f_{2})\in {\mathcal {A}}$。 $\square$

引理E：对于紧致豪斯多夫空间$X$和闭晶格${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，如果$f\in C(X,\mathbb {R} )$，且对于所有$x,y\in X$，存在$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$g_{xy}(x)=f(x),g_{xy}(y)=f(y)$，那么$f\in {\mathcal {A}}$。

证明： 给定$\epsilon >0$，对于所有$x,y\in X$，令$U_{xy}=\{z\in X:f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon \},V_{xy}=\{z\in X:f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon \}$。那么根据条件，对于所有$x,y\in X$，$x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}$。于是对于任意$y\in X$，${\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}$是一个$X$的开覆盖。因此存在$n_{y}\in \mathbb {N}$使得$X=\bigcup _{j=1}^{n_{y}}U_{x_{j}y}$。注意到这等价于对所有$z\in X$，存在一个$j=1,\cdots ,n_{y}$使得$f(z)<g_{x_{j}y}(z)+\epsilon$。于是，如果令$g_{y}(z)=\max _{j=1,\cdots ,n_{y}}g_{x_{j}y}(z)$，那么对于所有$z\in X,f(z)<g_{y}(z)+\epsilon$且对于所有$z\in \bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{{x_{j}}y},f(z)>g_{y}(z)-\epsilon$。令$V_{y}=\bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{x_{j}y}$，那么因为$\left\{V_{y}\right\}_{y\in X}$是是一个$X$的开覆盖。存在$y_{1},\cdots ,y_{m}\in X$使得$X=\bigcup _{k=1}^{m}V_{y_{k}}$。令$g=\min _{k=1,\cdots ,m}g_{y_{k}}$。于是$\lVert f-g\rVert _{\infty ,X}<\epsilon$。因为${\mathcal {A}}$是个闭晶格，$g\in {\mathcal {A}}\implies f\in {\mathcal {A}}$。$\square$

定理证明：

我们宣称以下等价：

1. 对于所有相异$x,y\in X$，${\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}$，其中${\mathcal {A}}_{xy}$如引理B中所述；
2. $1\in {\mathcal {A}}$；
3. ${\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )$。

显然，我们有(3)$\implies$(2)。假设(2)成立，那么${\mathcal {A}}_{xy}$就不可能是${\text{span}}\{(0,1)\},{\text{span}}\{(1,0)\}$。所以根据引理Ｂ，(1) 成立。假设(1)成立，那么给定任意$f\in C(X,\mathbb {R} )$以及相异$x,y\in X$，有$(f(x),f(y))\in \mathbb {R} ^{2}={\mathcal {A}}_{xy}$，所以存在$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$(f(x),f(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))$。另外，对于$x\in X$，根据引理B中(2)的等价，存在$g_{x}\in {\mathcal {A}}$使得对于$g_{x}(x)\neq 0$。因此$f(x)={\widetilde {g}}(x)$，其中${\widetilde {g}}:={\frac {f(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}$。于是，根据引理D以及引理E，$f\in {\mathcal {A}}$。因为$f\in C(X,\mathbb {R} )$是任意的，(3)成立。

类似地，我们宣称以下等价：

1. 存在相异$x,y\in X$，${\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}{(0,1)},{\text{span}}{(1,0)}$，其中${\mathcal {A}}_{xy}$如引理B中所述；
2. 存在$x_{0}\in X$使得对于所有$g\in {\mathcal {A}},g(x_{0})=0$；
3. 存在$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。

(1)$\iff$(2)已由引理B给出且(3)$\implies$(2)显然。因此，仅须证明(2)$\implies$(3)。假设(2)成立，那么显然有${\mathcal {A}}\subseteq \{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。注意到因为${\mathcal {A}}$分离相异点，该$x_{0}$唯一。 给定$g\in C(X,\mathbb {R} )$且$g(x_{0})=0$。给定相异$x,y\in X$，如果$x,y\neq x_{0}$，那么根据引理B (的证明)，${\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}$，所以存在$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$(g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))$。如果$x,y$其一为$x_{0}$，那么根据$x_{0}$的唯一性，${\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}$，因此一样有$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$(g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))$。

给定任意$x\in X$，如果$x=x_{0}$，那么$g(x_{0})=0(x_{0})$，其中$0\in {\mathcal {A}}$指零函数。如果$x\neq x_{0}$，那么根据$x_{0}$的唯一性，存在$g_{x}\in {\mathcal {A}}$使得$g_{x}(x)\neq 0$，因此$g(x)={\widetilde {g}}(x)$，其中${\widetilde {g}}:={\frac {g(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}$。于是，根据引理D以及引理E，$f\in {\mathcal {A}}$。因为$f\in C(X,\mathbb {R} )$是任意的，(3)成立。

非紧致空间

根据亚历山德罗夫紧化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非紧致的局部紧致豪斯多夫空间中，叙述如下：

叙述：给定一个非紧致的局部紧致豪斯多夫空间$X$以及在$X$在无穷远处消失(vanishes at infinity)的实连续函数集$C_{0}(X,\mathbb {R} )$ (也就是说，对于任意$\epsilon >0$，$\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \}$是一个紧致集)。如果${\mathcal {A}}\subseteq C_{0}(X,\mathbb {R} )$使一个分离相异点的闭子代数，那么${\mathcal {A}}$是以下两个情况之一：

1. ${\mathcal {A}}=C_{0}(X,\mathbb {R} )$；
2. 存在一个$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C_{0}(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。

复数域

在复数域中，包含常数函数$1$的闭子代数${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )$ 并不会都与$C(X,\mathbb {C} )$相等。不过如果${\mathcal {A}}$对于共轭映射$g\mapsto {\bar {g}}$封闭，那么有类似的结论：

叙述：对于紧致豪斯多夫空间 $(X,\tau )$以及分离相异点，且对共轭封闭的的闭子代数${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )$，那么${\mathcal {A}}$是以下两个情况之一：

1. ${\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {C} )$；
2. 存在一个$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {C} ):g(x_{0})=0\}$。