节俭数

节俭数（frugal number）是指一正整数质因数分解（包括指数）的总位数小于整数本身的位数。 以十进制的125为例，质因数分解为5³，只有二位数，小于其本身位数的三位数，因此125为节俭数。其他进制下也有节俭数，例如32为二进制下的节俭数，因为10¹⁰¹ = 100000。

大多数的节俭数都是素数的幂，在十进制下，第一个不是素数的幂的节俭数是1029=3x7³

前几个节俭数为：

125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250, 1280, 1331, 1369, 1458, 1536, 1681, 1701, 1715, 1792, 1849, 1875（OEIS数列A046759）

数学定义

令$b>1$为进制的数字，$K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ 为自然数$n$在$b$进制下的位数。自然数$n$的质数分解为n

$n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}$

其中$v_{p}(n)$是$n$的P进赋值，则$n$在$b$进制下为节俭数，若

$K_{b}(n)>\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).$

相关条目

• 等数位数：质因数分解（包括指数）总位数等于整数本身位数的正整数。
• 奢侈数：质因数分解（包括指数）总位数大于整数本身位数的正整数。

参考资料

• R.G.E. Pinch (1998), Economical Numbers