数学 上，黎曼-刘维尔积分 （Riemann–Liouville integral ）将定义域和值域均为实数集的实函数
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
I α f α > 0f 反导数 （原函数）的一种推广形式，当α I α f f α 伯恩哈德·黎曼 和约瑟夫·刘维尔 的名字命名，后者于1832年首次考虑分数微积分 的可能性。[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] 解析函数 时，该算符与莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler) 提出的欧拉变换 [ 5] Marcel Riesz 推广到任意维度，并引入了Riesz势 黎曼-刘维尔微分积分 （Riemann–Liouville differintegral ），微分积分
黎曼-刘维尔积分源自柯西重复积分公式。对于在区间 [a x f n
I
n
f
(
x
)
=
f
(
−
n
)
(
x
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle I^{n}f(x)=f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}
现在，通过用α n
I
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
a
x
(
x
−
t
)
α
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,\mathrm {d} t}
黎曼-刘维尔积分定义为
I
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
a
x
f
(
t
)
(
x
−
t
)
α
−
1
d
t
{\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}
其中Γ 伽马函数 ， a f 局部可积函数 ，且α 半平面 Re(α ) > 0 复数 ，则积分定义明确。其中对基点a 积分常数 的选取自由。显然， I 1 f f α 柯西重复积分公式 I α f α [ 6]
a
D
x
−
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
a
x
f
(
t
)
(
x
−
t
)
α
−
1
d
t
.
{\displaystyle {}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}
如果a = −∞f
有以下基本关系成立：
d
d
x
I
α
+
1
f
(
x
)
=
I
α
f
(
x
)
,
I
α
(
I
β
f
)
=
I
α
+
β
f
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}
后式表明其具有半群 性质。 [ 1] I α f
对一个确定有界区间(a, b) 。算子I α 可积函数 f I α f 富比尼定理 ，函数I α f I α L 1 (a ,b )线性算子 ：
I
α
:
L
1
(
a
,
b
)
→
L
1
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).}
富比尼定理还表明，该算子关于L 1 上的Banach 空间 结构是连续的 ，并且以下不等式成立：
‖
I
α
f
‖
1
≤
|
b
−
a
|
ℜ
(
α
)
ℜ
(
α
)
|
Γ
(
α
)
|
‖
f
‖
1
.
{\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}
这里‖ · ‖1 L 1 (a ,b )范数 。
更一般地，根据赫尔德不等式 ，如果f ∈ L p a , b )I α f ∈ L p a , b )
‖
I
α
f
‖
p
≤
|
b
−
a
|
ℜ
(
α
)
/
p
ℜ
(
α
)
|
Γ
(
α
)
|
‖
f
‖
p
{\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )/p}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}}
成立。其中‖ · ‖p L p
因此我们有一个有界线性算子I α L p a , b ) → L p a , b )L p I α f → f p ≥ 1
lim
α
→
0
+
‖
I
α
f
−
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}
此外，通过估计I I α f → f 几乎处处 逐点成立。
算子I α
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Banach 空间 中指数型 函数的有界变换
X
σ
=
L
1
(
e
−
σ
|
t
|
d
t
)
{\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt)}
‖
f
‖
=
∫
−
∞
∞
|
f
(
t
)
|
e
−
σ
|
t
|
d
t
{\displaystyle \|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}
是有限的。对于f ∈ X σ I α f 拉普拉斯变换 形式特别简单
(
L
I
α
f
)
(
s
)
=
s
−
α
F
(
s
)
{\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)}
其中Re(s ) > σ F (s )f I α 傅里叶乘子
f
d
α
d
x
α
f
=
def
d
⌈
α
⌉
d
x
⌈
α
⌉
I
⌈
α
⌉
−
α
f
{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f\,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f}
其中⌈ · ⌉ 上限函数 。通过定义
D
x
α
f
(
x
)
=
{
d
⌈
α
⌉
d
x
⌈
α
⌉
I
⌈
α
⌉
−
α
f
(
x
)
α
>
0
f
(
x
)
α
=
0
I
−
α
f
(
x
)
α
<
0.
{\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}}
可以得到微分和积分之间的微分积分插值。
1967 年，卡普托 (Caputo) 提出了一种分数阶导数， [ 7] 拉普拉斯变换 的初值项是用该函数的值及其整数阶导数来表示的，而不是像黎曼-刘维尔导数那样用分数阶导数来表示。 [ 8] x
D
x
α
f
(
y
)
=
1
Γ
(
1
−
α
)
∫
x
y
f
′
(
y
−
u
)
(
u
−
x
)
−
α
d
u
.
{\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}f'(y-u)(u-x)^{-\alpha }du.}
另一种表示是：
a
D
~
x
α
f
(
x
)
=
I
⌈
α
⌉
−
α
(
d
⌈
α
⌉
f
d
x
⌈
α
⌉
)
.
{\displaystyle {}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).}
函数f (x ) = x 动画显示导数算子在简单幂函数y = x α = −1y = 1 / 2 x 2 α = +1y = 1 假设f (x )单项式 ，形式如下：
f
(
x
)
=
x
k
.
{\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}
一阶导数与通常情形一致：
f
′
(
x
)
=
d
d
x
f
(
x
)
=
k
x
k
−
1
.
{\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.}
重复此过程可得到更一般的结果
d
a
d
x
a
x
k
=
k
!
(
k
−
a
)
!
x
k
−
a
,
{\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,}
用伽马函数 代替阶乘 后，得到
d
a
d
x
a
x
k
=
Γ
(
k
+
1
)
Γ
(
k
−
a
+
1
)
x
k
−
a
,
k
>
0.
{\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\quad \ k>0.}
对于k = 1a = 1 / 2
d
1
2
d
x
1
2
x
=
Γ
(
1
+
1
)
Γ
(
1
−
1
2
+
1
)
x
1
−
1
2
=
Γ
(
2
)
Γ
(
3
2
)
x
1
2
=
1
π
2
x
1
2
.
{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.}
为了证明这就是真正的“半导数”（其中H H 2 f (x ) = Df (x )
d
1
2
d
x
1
2
2
x
1
2
π
=
2
π
Γ
(
1
+
1
2
)
Γ
(
1
2
−
1
2
+
1
)
x
1
2
−
1
2
=
2
π
Γ
(
3
2
)
Γ
(
1
)
x
0
=
2
π
2
x
0
π
=
1
,
{\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,}
（因为
Γ
(
3
2
)
=
π
2
{\textstyle \Gamma \!\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}
Γ(1) = 1
(
d
1
2
d
x
1
2
d
1
2
d
x
1
2
)
x
=
d
d
x
x
=
1
.
{\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)\!x={\frac {d}{dx}}x=1\,.}
对于负整数幂k
Γ
{\textstyle \Gamma }
[ 9]
d
a
d
x
a
x
−
k
=
(
−
1
)
a
Γ
(
k
+
a
)
Γ
(
k
)
x
−
(
k
+
a
)
for
k
≥
0.
{\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.}
上述微分算子的扩展不仅限于实数幂；它也适用于复数幂。例如， (1 + i ) (1 − i ) a
对于一般函数f (x )0 < α < 1
D
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
1
−
α
)
d
d
x
∫
0
x
f
(
t
)
(
x
−
t
)
α
d
t
.
{\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.}
对于任意α
D
3
2
f
(
x
)
=
D
1
2
D
1
f
(
x
)
=
D
1
2
d
d
x
f
(
x
)
.
{\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).}
我们也可以通过拉普拉斯变换 来解决这个问题。已知
L
{
J
f
}
(
s
)
=
L
{
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
}
(
s
)
=
1
s
(
L
{
f
}
)
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}
和
L
{
J
2
f
}
=
1
s
(
L
{
J
f
}
)
(
s
)
=
1
s
2
(
L
{
f
}
)
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}
等等，我们断言
J
α
f
=
L
−
1
{
s
−
α
(
L
{
f
}
)
(
s
)
}
{\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}
例如，
J
α
(
t
k
)
=
L
−
1
{
Γ
(
k
+
1
)
s
α
+
k
+
1
}
=
Γ
(
k
+
1
)
Γ
(
α
+
k
+
1
)
t
α
+
k
{\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}
正如预期的那样。事实上，考虑到卷积 规则
L
{
f
∗
g
}
=
(
L
{
f
}
)
(
L
{
g
}
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}
并且为了清楚起见，我们将p (x )p (x ) = x α − 1
(
J
α
f
)
(
t
)
=
1
Γ
(
α
)
L
−
1
{
(
L
{
p
}
)
(
L
{
f
}
)
}
=
1
Γ
(
α
)
(
p
∗
f
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
0
t
p
(
t
−
τ
)
f
(
τ
)
d
τ
=
1
Γ
(
α
)
∫
0
t
(
t
−
τ
)
α
−
1
f
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}
这就是上面柯西推导的式子。
拉普拉斯变换对相对较少的函数起作用，但它们通常对求解分数阶微分方程很有用 。
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