魏尔施特拉斯逼近定理

斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間$(X,\tau )$上的實數連續函數$C(X,\mathbb {R} )$能夠被較小的函數集逼近的條件。

定義

對於緊緻豪斯多夫空間 $(X,\tau )$以及${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，我們定義

• ${\mathcal {A}}$是一個代數 (algebra) 如果${\mathcal {A}}$是一個實數子空間，並且對於所有$f,g\in {\mathcal {A}}$，$fg\in {\mathcal {A}}$。
• ${\mathcal {A}}$分離相異點(separates points)如果對於所有相異$x,y\in X$，存在$f\in C(X,\mathbb {R} )$使得$f(x)\neq f(y)$。
• ${\mathcal {A}}$是一個晶格 (lattice) 如果對於所有$f,g\in {\mathcal {A}}$，$\min(f,g),\max(f.g)\in {\mathcal {A}}$。

敘述

對於緊緻豪斯多夫空間 $(X,\tau )$以及分離相異點的閉子代數${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，那麼${\mathcal {A}}$是以下兩個情況之一：

1. ${\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )$；
2. 存在一個$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。

且(1)若且唯若$1\in {\mathcal {A}}$；(2)若且唯若存在$x_{0}\in X$使得對於所有$g\in {\mathcal {A}}$$g(x_{0})=0$。

注意：由於${\mathcal {A}}$分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的$x_{0}$是唯一的。

證明

引理Ａ：如果將$\mathbb {R} ^{2}$視為一個實數向量空間，且兩向量間乘法定義為$(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})\mapsto (x_{1}x_{2},y_{1}y_{2})$，那麼$\mathbb {R} ^{2}$是個代數。且所有子代數只能是以下幾個情況：

1. $\mathbb {R} ^{2}$；
2. $\{(0,0)\}$；
3. $v$的線性生成空間，其中$v=(1,0),(0,1),(1,1)$。

證明：顯然，(1), (2)跟(3)都是子代數。如果${\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$是一個子代數，那麼因為${\mathcal {A}}$是一個子空間。那麼如果$\dim({\mathcal {A}})=0,2$，對應到(1), (2)。如果$\dim({\mathcal {A}})=1$，那麼存在一個非零向量$v=(a,b)$使得${\mathcal {A}}={\text{span}}(v)$。那麼因為${\mathcal {A}}$是一個代數，存在$\lambda \in \mathbb {R}$使得$a^{2}=\lambda a,b^{2}=\lambda b$。所以$a(\lambda -a)=0,b(\lambda -b)=0$ 。如果$a\neq 0,b\neq 0$，那麼$a=b=\lambda$，對應到(3)中$v=(1,1)$的情況；如果$a,b$其一非零，則對應到(3)中$v=(0,1),(1,0)$的情況。$\square$

引理B：對於豪斯多夫空間$X$和分離相異點的子代數${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，以及相異點$x,y\in X$，定義${\mathcal {A}}_{xy}=\{(g(x),g(y)):g\in {\mathcal {A}}\}$。那麼只能是以下兩個情況：

1. 對於所有相異$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}$。
2. 存在一組相異$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}$。

另外，(2)等價於存在一個$x_{0}\in X$使得對於所有$g\in {\mathcal {A}}$，$g(x_{0})=0$。

注意：由於${\mathcal {A}}$分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的$x_{0}$是唯一的。

證明：顯然，對於所有相異$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}$是一個子代數。根據引理A，只需要證明對於所有相異$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}$不可能是${\text{span}}\{(1,1)\},{\text{span}}\{(0,0)\}$，但這顯然成立，因為${\mathcal {A}}$分離相異點以及。 接著證明(2)的等價：如果存在一組相異$x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}$，那麼根據${\mathcal {A}}_{xy}$的定義，存在一個$x_{0}\in X$使得對於所有$g\in {\mathcal {A}}$，$g(x_{0})=0$。相反地，如果存在一個$x_{0}\in X$使得對於所有$g\in {\mathcal {A}}$，$g(x_{0})=0$，那麼對於所有相異於$x_{0}$的$y\in X$，我們有${\mathcal {A}}_{{x_{0}}y}={\text{span}}\{(0,1)\}$。$\square$

引理C：對於任意$\epsilon >0$，存在一個實多項式$P$使得$P(0)=0$，且對於所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P(x)|<\epsilon$。

證明：令$P_{0}\equiv 0$，$P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+{\frac {x^{2}-P_{n}^{2}(x)}{2}}$。那麼根據數學歸納法可以證明：

1. 對於所有$x\in [-1,1]$，$0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x|$。
2. 對於所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P_{n}(x)|\leq |x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}$。

因為$|x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}\leq {\frac {1}{n+1}}$，得證。$\square$

引理D：對於緊緻豪斯多夫空間$X$和閉子代數${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，如果$g\in {\mathcal {A}}$，那麼$|g|\in {\mathcal {A}}$，且${\mathcal {A}}$是一個晶格。

證明：對於非零函數$g\in {\mathcal {A}}$，令$h={\frac {g}{\lVert g\rVert _{\infty ,X}}}$，其中$\lVert \cdot \rVert _{\infty ,X}$是在$X$上的無窮範數。那麼因為$-1\leq h\leq 1$根據引理C，存在一個存在一個實多項式$P$使得$P(0)=0$，且對於所有$x\in X$，有$||h(x)|-P(h(x))|<\epsilon$。因為$P(0)=0$，所以$P(h(x))\in {\mathcal {A}}$。因為$\epsilon >0$是任意的，所以$|h|\in {\mathcal {A}}\implies |g|=\lVert g\rVert _{\infty ,X}|h|\in {\mathcal {A}}$。對於任意$f_{1},f_{2}\in {\mathcal {A}},\max(f_{1},f_{2})={\frac {|f_{1}-f_{2}|+(f_{1}+f_{2})}{2}}\in {\mathcal {A}},\min(f_{1},f_{2})=-\max(-f_{1},-f_{2})\in {\mathcal {A}}$。 $\square$

引理E：對於緊緻豪斯多夫空間$X$和閉晶格${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )$，如果$f\in C(X,\mathbb {R} )$，且對於所有$x,y\in X$，存在$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$g_{xy}(x)=f(x),g_{xy}(y)=f(y)$，那麼$f\in {\mathcal {A}}$。

證明： 給定$\epsilon >0$，對於所有$x,y\in X$，令$U_{xy}=\{z\in X:f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon \},V_{xy}=\{z\in X:f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon \}$。那麼根據條件，對於所有$x,y\in X$，$x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}$。於是對於任意$y\in X$，${\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}$是一個$X$的開覆蓋。因此存在$n_{y}\in \mathbb {N}$使得$X=\bigcup _{j=1}^{n_{y}}U_{x_{j}y}$。注意到這等價於對所有$z\in X$，存在一個$j=1,\cdots ,n_{y}$使得$f(z)<g_{x_{j}y}(z)+\epsilon$。於是，如果令$g_{y}(z)=\max _{j=1,\cdots ,n_{y}}g_{x_{j}y}(z)$，那麼對於所有$z\in X,f(z)<g_{y}(z)+\epsilon$且對於所有$z\in \bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{{x_{j}}y},f(z)>g_{y}(z)-\epsilon$。令$V_{y}=\bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{x_{j}y}$，那麼因為$\left\{V_{y}\right\}_{y\in X}$是是一個$X$的開覆蓋。存在$y_{1},\cdots ,y_{m}\in X$使得$X=\bigcup _{k=1}^{m}V_{y_{k}}$。令$g=\min _{k=1,\cdots ,m}g_{y_{k}}$。於是$\lVert f-g\rVert _{\infty ,X}<\epsilon$。因為${\mathcal {A}}$是個閉晶格，$g\in {\mathcal {A}}\implies f\in {\mathcal {A}}$。$\square$

定理證明：

我們宣稱以下等價：

1. 對於所有相異$x,y\in X$，${\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}$，其中${\mathcal {A}}_{xy}$如引理B中所述；
2. $1\in {\mathcal {A}}$；
3. ${\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )$。

顯然，我們有(3)$\implies$(2)。假設(2)成立，那麼${\mathcal {A}}_{xy}$就不可能是${\text{span}}\{(0,1)\},{\text{span}}\{(1,0)\}$。所以根據引理Ｂ，(1) 成立。假設(1)成立，那麼給定任意$f\in C(X,\mathbb {R} )$以及相異$x,y\in X$，有$(f(x),f(y))\in \mathbb {R} ^{2}={\mathcal {A}}_{xy}$，所以存在$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$(f(x),f(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))$。另外，對於$x\in X$，根據引理B中(2)的等價，存在$g_{x}\in {\mathcal {A}}$使得對於$g_{x}(x)\neq 0$。因此$f(x)={\widetilde {g}}(x)$，其中${\widetilde {g}}:={\frac {f(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}$。於是，根據引理D以及引理E，$f\in {\mathcal {A}}$。因為$f\in C(X,\mathbb {R} )$是任意的，(3)成立。

類似地，我們宣稱以下等價：

1. 存在相異$x,y\in X$，${\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}{(0,1)},{\text{span}}{(1,0)}$，其中${\mathcal {A}}_{xy}$如引理B中所述；
2. 存在$x_{0}\in X$使得對於所有$g\in {\mathcal {A}},g(x_{0})=0$；
3. 存在$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。

(1)$\iff$(2)已由引理B給出且(3)$\implies$(2)顯然。因此，僅須證明(2)$\implies$(3)。假設(2)成立，那麼顯然有${\mathcal {A}}\subseteq \{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。注意到因為${\mathcal {A}}$分離相異點，該$x_{0}$唯一。 給定$g\in C(X,\mathbb {R} )$且$g(x_{0})=0$。給定相異$x,y\in X$，如果$x,y\neq x_{0}$，那麼根據引理B (的證明)，${\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}$，所以存在$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$(g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))$。如果$x,y$其一為$x_{0}$，那麼根據$x_{0}$的唯一性，${\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}$，因此一樣有$g_{xy}\in {\mathcal {A}}$使得$(g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))$。

給定任意$x\in X$，如果$x=x_{0}$，那麼$g(x_{0})=0(x_{0})$，其中$0\in {\mathcal {A}}$指零函數。如果$x\neq x_{0}$，那麼根據$x_{0}$的唯一性，存在$g_{x}\in {\mathcal {A}}$使得$g_{x}(x)\neq 0$，因此$g(x)={\widetilde {g}}(x)$，其中${\widetilde {g}}:={\frac {g(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}$。於是，根據引理D以及引理E，$f\in {\mathcal {A}}$。因為$f\in C(X,\mathbb {R} )$是任意的，(3)成立。

非緊緻空間

根據亞歷山德羅夫緊化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間中，敘述如下：

敘述：給定一個非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間$X$以及在$X$在無窮遠處消失(vanishes at infinity)的實連續函數集$C_{0}(X,\mathbb {R} )$ (也就是說，對於任意$\epsilon >0$，$\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \}$是一個緊緻集)。如果${\mathcal {A}}\subseteq C_{0}(X,\mathbb {R} )$使一個分離相異點的閉子代數，那麼${\mathcal {A}}$是以下兩個情況之一：

1. ${\mathcal {A}}=C_{0}(X,\mathbb {R} )$；
2. 存在一個$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C_{0}(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}$。

複數域

在複數域中，包含常數函數$1$的閉子代數${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )$ 並不會都與$C(X,\mathbb {C} )$相等。不過如果${\mathcal {A}}$對於共軛映射$g\mapsto {\bar {g}}$封閉，那麼有類似的結論：

敘述：對於緊緻豪斯多夫空間 $(X,\tau )$以及分離相異點，且對共軛封閉的的閉子代數${\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )$，那麼${\mathcal {A}}$是以下兩個情況之一：

1. ${\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {C} )$；
2. 存在一個$x_{0}\in X$使得${\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {C} ):g(x_{0})=0\}$。