在数学分析领域中、 柯西稠密测试(得名于法国数学家柯西),是一个应对无穷级数的收敛测试。
一般而言,一个单调递减、非负的实数序列
所对应的级数
收敛当且仅当其“凝结”级数(英语:Condensed Series)
收敛。 且此极限(如果存在)满足以下不等式:
![{\displaystyle 0\ \leq \ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbdb21b9d170cafa2609e44f66da5f7b276cd9a9)
换言之,“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。
要证明该方法的正确性,我们需要证明上面的不等式。
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1bff2659e39e768e1716b3486e3652178babcf3)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df46805eba727c4bbdf4b131e94037a83df61c9e)
第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质(单调递减)。
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433820b0081afd5e9d8394e1cf44225a2533b84e)
相似地,第二个不等式也需要我们重新组合和替换。
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901e80b17b6e3716baabceec93aa4576b37953a2)
- Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.
外部連結[编辑]