里奇純量 (紐曼-彭羅斯形式)

在廣義相對論的紐曼-彭羅斯形式體系中，四維時空的里奇張量的獨立分量被編碼為七個（或十個）里奇純量，這些純量由三個實純量組成$\{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}$ 、三個（或六個）複數純量$\{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10}\,,\Phi _{02}={\overline {\Phi }}_{20}\,,\Phi _{12}={\overline {\Phi }}_{21}\}$和 NP 曲率純量$\Lambda$ 。物理上，由於愛因斯坦場方程，Ricci-NP 純量與時空的能量動量分布相關。

定義

給定一個複雜的零四分體$\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$並遵守公約$\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ ，Ricci-NP純量定義為（上劃線表示復共軛）

$\Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;$

$\Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{01}\,,$ $\Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{02}\,,$ $\Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.$

備註一：在這些定義中， $R_{ab}$可以用其無痕部分代替$Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R$

或愛因斯坦張量$G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R$由於規範化（即內積）關係

$l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,$

$l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,.$

備註 II：具體針對電真空，我們有$\Lambda =0$ ， 因此

$24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a}{\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,,$

因此$\Phi _{11}$簡化為

$\Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

備註三：如果採用慣例$\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}$ ，定義$\Phi _{ij}$應取相反的值； 也就是說， $\Phi _{ij}\mapsto -\Phi _{ij}$簽名轉換後。

替代推導

根據上述定義，在通過與相應四元組向量的收縮計算 Ricci-NP 純量之前，應該先找出Ricci 張量。然而，這種方法未能充分體現紐曼-彭羅斯形式體系的精神，另一種方法是，計算自旋係數，然後導出 Ricci-NP 純量$\Phi _{ij}$通過相關的NP 場方程

$\Phi _{00}=D\rho -{\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,,$

$\Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,$

$\Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu }}\,,$

$\Phi _{20}=D\lambda -{\bar {\delta }}\pi -(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )-\pi ^{2}-(\alpha -{\bar {\beta }})\pi +\nu {\bar {\kappa }}+(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda \,,$

$\Phi _{12}=\delta \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,$

$\Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,$

$2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi }})\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,$

而 NP 曲率純量$\Lambda$可以通過以下方式直接輕鬆計算$\Lambda ={\frac {R}{24}}$和$R$是時空度量的普通純量曲率$g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}$ 。

電磁 Ricci-NP 純量

根據 Ricci-NP 純量的以上定義 $\Phi _{ij}$ 且在定義替換 $R_{ab}$ 為 $G_{ab}$ ， $\Phi _{ij}$ 與愛因斯坦場方程的能量動量分布有關$G_{ab}=8\pi T_{ab}$ 。在最簡單的情況下，即真空時空沒有物質場， $T_{ab}=0$ ，我們將有$\Phi _{ij}=0$ 。此外，對於電磁場，除了上述定義外， $\Phi _{ij}$可以更具體地通過來確定

$\Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,$

這裡 $\phi _{i}$ 表示三個複數麥克斯韋-NP 純量 ，它們編碼了法拉第-麥克斯韋 2 形式的六個獨立分量$F_{ab}$ （即電磁場強度張量）

$\phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

備註：方程$\Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}$但對於電磁場來說，這不一定對其他類型的物質場也有效。例如，對於楊-米爾斯場，將有$\Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})$在哪裡$\digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})$是楊–米爾斯-NP純量。

參見

• 紐曼-彭羅斯形式體系
• 韋爾純量