里奇标量 (纽曼-彭罗斯形式)

在广义相对论的纽曼-彭罗斯形式体系中，四维时空的里奇张量的独立分量被编码为七个（或十个）里奇标量，这些标量由三个实标量组成$\{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}$ 、三个（或六个）复数标量$\{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10}\,,\Phi _{02}={\overline {\Phi }}_{20}\,,\Phi _{12}={\overline {\Phi }}_{21}\}$和 NP 曲率标量$\Lambda$ 。物理上，由于爱因斯坦场方程，Ricci-NP 标量与时空的能量动量分布相关。

定义

给定一个复杂的零四分体$\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$并遵守公约$\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ ，Ricci-NP标量定义为（上划线表示复共轭）

$\Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;$

$\Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{01}\,,$ $\Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{02}\,,$ $\Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.$

备注一：在这些定义中， $R_{ab}$可以用其无痕部分代替$Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R$

或爱因斯坦张量$G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R$由于规范化（即内积）关系

$l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,$

$l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,.$

备注 II：具体针对电真空，我们有$\Lambda =0$ ， 因此

$24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a}{\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,,$

因此$\Phi _{11}$简化为

$\Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

备注三：如果采用惯例$\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}$ ，定义$\Phi _{ij}$应取相反的值； 也就是说， $\Phi _{ij}\mapsto -\Phi _{ij}$签名转换后。

替代推导

根据上述定义，在通过与相应四元组向量的收缩计算 Ricci-NP 标量之前，应该先找出Ricci 张量。然而，这种方法未能充分体现纽曼-彭罗斯形式体系的精神，另一种方法是，计算自旋系数，然后导出 Ricci-NP 标量$\Phi _{ij}$通过相关的NP 场方程

$\Phi _{00}=D\rho -{\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,,$

$\Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,$

$\Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu }}\,,$

$\Phi _{20}=D\lambda -{\bar {\delta }}\pi -(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )-\pi ^{2}-(\alpha -{\bar {\beta }})\pi +\nu {\bar {\kappa }}+(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda \,,$

$\Phi _{12}=\delta \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,$

$\Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,$

$2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi }})\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,$

而 NP 曲率标量$\Lambda$可以通过以下方式直接轻松计算$\Lambda ={\frac {R}{24}}$和$R$是时空度量的普通标量曲率$g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}$ 。

电磁 Ricci-NP 标量

根据 Ricci-NP 标量的以上定义 $\Phi _{ij}$ 且在定义替换 $R_{ab}$ 为 $G_{ab}$ ， $\Phi _{ij}$ 与爱因斯坦场方程的能量动量分布有关$G_{ab}=8\pi T_{ab}$ 。在最简单的情况下，即真空时空没有物质场， $T_{ab}=0$ ，我们将有$\Phi _{ij}=0$ 。此外，对于电磁场，除了上述定义外， $\Phi _{ij}$可以更具体地通过来确定

$\Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,$

这里 $\phi _{i}$ 表示三个复数麦克斯韦-NP 标量 ，它们编码了法拉第-麦克斯韦 2 形式的六个独立分量$F_{ab}$ （即电磁场强度张量）

$\phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

备注：方程$\Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}$但对于电磁场来说，这不一定对其他类型的物质场也有效。例如，对于杨-米尔斯场，将有$\Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})$在哪里$\digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})$是杨–米尔斯-NP标量。

参见

• 纽曼-彭罗斯形式体系
• 韦尔标量