物理學中,物理空間代數 (APS)是用三維歐氏空間的克利福德代數或幾何代數作為(3+1)維時空的模型,通過副向量(3維向量加1維純量)表示時空中的一個點。
克利福德代數在旋量表示上有由泡利矩陣生成的忠實表示;此外,同構於克利福德代數的偶子代數。
APS可為經典力學與量子力學構建一個緊湊、統一的幾何形式。
注意APS與時空代數(STA)不同,後者涉及4維閔氏時空的克利福德代數。
狹義相對論[編輯]
時空位置副向量[編輯]
APS中,時空位置可表為副向量
其中時間由標綠部分給出,是位置空間的標準基。整個過程中使用的單位是,稱作自然單位制。在泡利矩陣表述中,單位基向量被泡利矩陣代替,純量部分被單位矩陣代替,這意味著時空位置的泡利矩陣表述為
洛倫茲變換與轉子[編輯]
保時間方向、包含旋轉與遞升的受限洛倫茲變換,可用對時空旋轉雙副向量W進行指數化實現:
在矩陣表示中,洛倫茲轉子被看作是群(複數上度為2的特殊線性群)的一個例子,其是洛倫茲群的雙覆蓋。洛倫茲轉子的么模性可由以下條件,轉為洛倫茲轉子與其克利福德共軛之積:
此洛倫茲轉子總可以分解為兩個因子,是厄米的與么正的,使得
酉元R稱作轉子,因為其編碼了旋轉,厄米元B則編碼了遞升。
四維速度副向量[編輯]
四維速度也稱原速,定義為時空位置副向量對原時τ的導數:
定義普通速度為
回想伽馬因子的定義:
於是原速的更緊湊定義是:
原速是正么模副向量,意味著下列克利福德共軛條件:
在洛倫茲轉子L作用下,原速變換為
四維動量副向量[編輯]
APS中的四維動量可通過將原速與質量相乘得到:
質殼條件轉化為
經典電動力學[編輯]
電磁場、電勢與電流[編輯]
電磁場可表為雙副向量F:
其中厄米部分代表
電場E,反厄米部分代表
磁場B。在標準泡利矩陣表示中,電磁場為
場F的源是電磁四維電流
其中純量部分等於
電荷密度ρ,向量部分等於
電流密度j。引入
電磁勢副向量:
當中純量部分等於
電勢ϕ,向量部分等於
磁勢A。則電磁場為
此場也可分為電部分
與磁部分
當中
且
F在下列
規範變換下不變:
其中
是
純量場。
電磁場在洛倫茲變換下是協變的,規律是
麥克斯韋方程組與洛倫茲力[編輯]
麥克斯韋方程組可用單一方程表示:
其中上橫線表示克利福德共軛。
洛倫茲力方程形式為
電磁拉格朗日量[編輯]
電磁拉格朗日量是
是實純量不變量。
相對論量子力學[編輯]
對質量為m、電荷為e的帶電粒子,其狄拉克方程的形式為
其中
是任意酉向量,
A是如上所述的電磁副向量。電磁相互作用通過
最小耦合包含在勢
A中。
經典旋量[編輯]
與洛倫茲力一致的洛倫茲轉子的微分方程為
這樣,原速可通過靜止時的洛倫茲變換計算出來:
積分之,就可得到時空軌跡
,同時還能使用
參考文獻[編輯]
教科書[編輯]
- Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158 . doi:10.1139/p04-058.
- Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
- Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293.
- Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.
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