劉維爾定理是數學中複分析的一個定理,由十九世紀法國數學家約瑟夫·劉維爾最先證明。劉維爾定理對整函數(即在整個複數域
上都是全純函數)的值域進行了刻畫。它表明,任何有界的整函數都一定是常數。
比劉維爾定理更進一步的是皮卡定理。後者說明,只要存在兩個相異的複數,它們都不屬於一個整函數的值域,則這個整函數是常數函數。
整函數是指從複數域
射到複數域,並且在整個複數域上都是全純函數的函數。全純也稱為復可微,是複函數的重要性質。某個函數]
在某點
全純,指在點
以及其鄰域上有定義,並且以下極限:
![{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3159422ebf70c864ebee7744fb3c333ef39145e)
存在。全純函數是複分析中的中心概念。全純不僅代表著復可微,而且可以證明,全純函數必然無窮可微,是解析函數。
劉維爾定理說明,任何一個整函數
,如果存在一個正數
,使得對於所有的複數
,
的模長都小於等於
:
![{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf89ad581f048a7a69171897598a9c2a75647a8)
則該函數必定是常數函數。
證明用到了整函數和解析函數的關係。整函數必然是解析函數,設有整函數
,考慮它關於
的解析展開:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023ddc8497e0e3d53b7118e94a3ecf6e58a8d566)
其中的係數
可以根據柯西積分公式求得:
![{\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b2c34617d5dee6a71a4d6444bda9d46b45a29d)
其中
是以0為圓心,半徑為
的圓。依照函數
有界的條件,可以估計係數
模長的上界:
![{\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82db60cfa77ffec9c5531b8c8781e12d4bd92c6a)
在以上的估計中,曲線積分為
,其中半徑
的選擇是任意的。當
趨於無窮大時,
趨於0. 因此,讓
趨於無窮大,便可以推出:對所有的k ≥ 1,都有ak = 0。這說明,
![{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae727d2e30c6abf1b740aac967f8fab02be09e5d)
即是說
是常數函數。定理得證。
應用與推論[編輯]
代數基本定理[編輯]
整函數的大小關係[編輯]
應用劉維爾定理可以證明,如果一個整函數
總比另一個整函數
小:
,那麼這兩個整函數成比例關係:
,其中
是比例常數。
考慮函數
說明,函數
的模長總小於等於1。另一方面,由於
,所以
的奇點都是可去奇點,可以依照上面的方式拓延為整函數
。所以
作為一個有界的整函數,根據劉維爾定理,必然是常數函數。這說明
和
成比例關係。
次線性整函數[編輯]
次線性函數,指函數值總小於等於定值乘以變量值的函數。設整函數
滿足:
![{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f2d428d5efbc2a0065f04b52211f5c912e3dba)
其中
是一個常數係數。考慮
的導函數。根據柯西積分公式,
![{\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7156907168ff6dd717ce6b36e268e40af98db68c)
其中
是以
為圓心,半徑為
的圓;
![{\displaystyle I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae94718396d3dcbc916fe784b038142840537b16)
取
,則
所以
,因此
![{\displaystyle |f'(z)|\leqslant 2M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d2038ba8c000b7d046420ca0c8974c74217b83)
因此依據劉維爾定理,
是常數函數。另一方面,
,所以
綜上可知,次線性整函數
是線性函數。
皮卡小定理[編輯]
劉維爾定理可以被用於進一步證明推廣了它的皮卡小定理。
參考文獻[編輯]
- Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
- Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.
外部連結[編輯]