刘维尔定理是数学中复分析的一个定理,由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数(即在整个复数域
上都是全纯函数)的值域进行了刻画。它表明,任何有界的整函数都一定是常数。
比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。后者说明,只要存在两个相异的复数,它们都不属于一个整函数的值域,则这个整函数是常数函数。
整函数是指从复数域
射到复数域,并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微,是复函数的重要性质。某个函数]
在某点
全纯,指在点
以及其邻域上有定义,并且以下极限:
![{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3159422ebf70c864ebee7744fb3c333ef39145e)
存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微,而且可以证明,全纯函数必然无穷可微,是解析函数。
刘维尔定理说明,任何一个整函数
,如果存在一个正数
,使得对于所有的复数
,
的模长都小于等于
:
![{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf89ad581f048a7a69171897598a9c2a75647a8)
则该函数必定是常数函数。
证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数,设有整函数
,考虑它关于
的解析展开:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023ddc8497e0e3d53b7118e94a3ecf6e58a8d566)
其中的系数
可以根据柯西积分公式求得:
![{\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b2c34617d5dee6a71a4d6444bda9d46b45a29d)
其中
是以0为圆心,半径为
的圆。依照函数
有界的条件,可以估计系数
模长的上界:
![{\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82db60cfa77ffec9c5531b8c8781e12d4bd92c6a)
在以上的估计中,曲线积分为
,其中半径
的选择是任意的。当
趋于无穷大时,
趋于0. 因此,让
趋于无穷大,便可以推出:对所有的k ≥ 1,都有ak = 0。这说明,
![{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae727d2e30c6abf1b740aac967f8fab02be09e5d)
即是说
是常数函数。定理得证。
应用与推论[编辑]
代数基本定理[编辑]
整函数的大小关系[编辑]
应用刘维尔定理可以证明,如果一个整函数
总比另一个整函数
小:
,那么这两个整函数成比例关系:
,其中
是比例常数。
考虑函数
说明,函数
的模长总小于等于1。另一方面,由于
,所以
的奇点都是可去奇点,可以依照上面的方式拓延为整函数
。所以
作为一个有界的整函数,根据刘维尔定理,必然是常数函数。这说明
和
成比例关系。
次线性整函数[编辑]
次线性函数,指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数
满足:
![{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f2d428d5efbc2a0065f04b52211f5c912e3dba)
其中
是一个常数系数。考虑
的导函数。根据柯西积分公式,
![{\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7156907168ff6dd717ce6b36e268e40af98db68c)
其中
是以
为圆心,半径为
的圆;
![{\displaystyle I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae94718396d3dcbc916fe784b038142840537b16)
取
,则
所以
,因此
![{\displaystyle |f'(z)|\leqslant 2M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d2038ba8c000b7d046420ca0c8974c74217b83)
因此依据刘维尔定理,
是常数函数。另一方面,
,所以
综上可知,次线性整函数
是线性函数。
皮卡小定理[编辑]
刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。
参考文献[编辑]
- Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
- Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.
外部链接[编辑]