双曲复数乘法表
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双曲复数(英语:hyperbolic numbers或Split-complex number),是异于复数而对实数所做的推广。
考虑数
,其中
是实数,而量
不是实数,但
是实数。
选取
,得到一般复数。取
的话,便得到双曲复数。
定义双曲复数的加法和乘法如下,使之符合交换律、结合律和分配律:
![{\displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70eba75ff28a811f67396be9c180e6e186d1dc03)
![{\displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e86a8c1c0b5239e1f8e60f5899d04ebae42954)
共轭、范数[编辑]
对于
,其共轭值
。对于任何双曲复数
,
![{\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3c76ba975b843a1781534f2065400e2d28c225)
![{\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ad8da441834295538a97e9fa70a404d3be0bb2)
![{\displaystyle (z^{*})^{*}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12415ff58e0deed17c66e79fba0cbdc8cce6ceb)
可见它是自同构的。
定义内积为
。若
,说
(双曲)正交。
双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积,即自身和其共轭值之乘积(闵可夫斯基范数):
。
这个范数非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变:
。
除了0之外,也不是每个双曲复数都有乘法逆元。
由此可见,双曲复数可逆若且唯若其平方范数非零。其形式均为
,其中
是实数。
双曲复数的幂等元有:
列方程
。有四个解:
。
s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。
。
若将
表示成
,双曲复数的乘法可表示成
。因此,在这个基里,双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。
共轭可表示为
,范数
。
有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间,表示为R1,1。正如欧几里得平面R2的几何学可以复数表示,闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。
在R,对于非零的
,点集
是双曲线。左边和右边的会经过
和
。
称为单位双曲线。
共轭双曲线是
,会分别经过
和
。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线
分开。
欧拉公式的相应版本是
。
1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。
20世纪,双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具,因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。
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- 可除代数:实数 (
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- 八元数 (
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- 实数 (
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- 复数 (
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- 八元数 (
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