艾里函数(Ai(x)),英国英格蘭天文学家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数,他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)(也称为艾里函数),是以下微分方程的解:
![{\displaystyle y''-xy=0,\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc575f4be00ed70c621f580056030f7fd3fe9388)
这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程,它有一个转折点,在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长(或衰减)。
Ai(x)(红色)和Bi(x)(蓝色)的图像
对于实数x,艾里函数由以下的积分定义:
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89f242f66c55391c62c9828279740198ea3f2ca)
虽然这个函数不是绝对可积的(当t趋于+∞时积分表达式不趋于零),这个广义积分还是收敛的,因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消(这可以用分部积分法来检验)。
把:
求导,我们可以发现它满足以下的微分方程:
![{\displaystyle y''-xy=0.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fcd55abc8b80172a00219f3eb0ddb61f87838d)
这个方程有两个线性独立的解。除了:
以外,另外一个解称为第二艾里函数,记为
。它定义为当x趋于−∞时,振幅与
相等,但相位与
相差
的函数:
![{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56f2c4b70b2289de0c71a9bdfd2da1f06d4a566)
时,
和
以及它们的导数的值为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96cc629af0265d0f158116541aa3776bc8e0d98)
在这里,
表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是
。
当x是正数时,Ai(x)是正的凸函数,指数衰减为零,Bi(x)也是正的凸函数,但呈指数增长。当x是负数时,Ai(x)和Bi(x)在零附近振动,其频率逐渐上升,振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。
渐近公式[编辑]
当x趋于+∞时,艾里函数的渐近表现为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86691fd34bbfa7eac4bc030c04884b32b00a1d1)
而对于负数方向的极限,则有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25db95e77da9a6b3ddefefc59d0721e2bc254e84)
这些极限的渐近展开式也是可以得到的[1]。
自变量是复数时的情形[编辑]
我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面:
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03a394fd7865ebcaf33dbbd5d6fc6b4aa417d40)
其中积分路径
从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始,在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外,我们也可以用微分方程
来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。
以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的,如果取主值为x2/3,且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的,只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内,对于某个正数δ。最后,Ai(−x)和Bi(−x)是正确的,如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。
从艾里函数的渐近表现可以推出,Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点,而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。
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与其它特殊函数的关系[编辑]
当自变量是正数时,艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76c92c973504770dc178b5ab25f406840895dda)
在这里,I±1/3和K1/3是方程
的解。
当自变量是负数时,艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7affec499c42c54459a4fffd50ec416d58eab8de)
在这里,J±1/3是方程
的解。
Scorer函数是
的解,它也可以用艾里函数来表示:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30a652868daf421d79f1f938712cb6dd8639fec)
或是利用超几何函数,
![{\displaystyle \operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec28467d4581506f5139063e2fa390119e1c06c7)
![{\displaystyle \operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e5e65f76dad52ce8c1a08c22eabe4bcd7deeb7)
参考文献[编辑]
- ^ 参看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。
外部链接[编辑]