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艾里函數

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艾里函數(Ai(x)),英國英格蘭天文學家數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函數,他在1838年研究光學的時候遇到了這個函數。Ai(x)的記法是Harold Jeffreys引進的。Ai(x)與相關函數Bi(x)(也稱為艾里函數),是以下微分方程的解:

這個方程稱為艾里方程斯托克斯方程。這是最簡單的二階線性微分方程,它有一個轉折點,在這一點函數由周期性的振動轉變為指數增長(或衰減)。

定義

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Ai(x)(紅色)和Bi(x)(藍色)的圖像

對於實數x,艾里函數由以下的積分定義:

雖然這個函數不是絕對可積的(當t趨於+∞時積分表達式不趨於零),這個廣義積分還是收斂的,因為它快速振動的正數和負數部分傾向於互相抵消(這可以用分部積分法來檢驗)。

把:求導,我們可以發現它滿足以下的微分方程:

這個方程有兩個線性獨立的解。除了:以外,另外一個解稱為第二艾里函數,記為。它定義為當x趨於−∞時,振幅與相等,但相位與相差 的函數:

性質

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時,以及它們的導數的值為:

在這裡,表示伽瑪函數。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式

x是正數時,Ai(x)是正的凸函數,指數衰減為零,Bi(x)也是正的凸函數,但呈指數增長。當x是負數時,Ai(x)和Bi(x)在零附近振動,其頻率逐漸上升,振幅逐漸下降。這可以由以下艾里函數的漸近公式推出。

漸近公式

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x趨於+∞時,艾里函數的漸近表現為:

而對於負數方向的極限,則有:

這些極限的漸近展開式也是可以得到的[1]

自變量是複數時的情形

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我們可以把艾里函數的定義擴展到整個複平面:

其中積分路徑從輻角為-(1/3)π的無窮遠處的點開始,在輻角為(1/3)π的無窮遠處的點結束。此外,我們也可以用微分方程來把Ai(x)和Bi(x)延拓為複平面上的整函數

以上Ai(x)的漸近公式在複平面上也是正確的,如果取主值為x2/3,且x不在負的實數軸上。Bi(x)的公式也是正確的,只要x位於扇形{xC : |arg x| < (1/3)π−δ}內,對於某個正數δ。最後,Ai(−x)和Bi(−x)是正確的,如果x位於扇形{xC : |arg x| < (2/3)π−δ}內。

從艾里函數的漸近表現可以推出,Ai(x)和Bi(x)在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai(x)在複平面內沒有其它零點,而Bi(x)在扇形{zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}內還有無窮多個零點。

圖像

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與其它特殊函數的關係

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當自變量是正數時,艾里函數與變形貝塞爾函數之間有以下的關係:

在這裡,I±1/3K1/3是方程的解。

當自變量是負數時,艾里函數與貝塞爾函數之間有以下的關係:

在這裡,J±1/3是方程的解。

Scorer函數的解,它也可以用艾里函數來表示:

或是利用超幾何函數,

參考文獻

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  1. ^ 參看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。

外部連結

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