在线性代数与泛函分析中,一个线性算子 L 的核(英語:kernel,也称作零空间,英語:null space)是所有使 L(v) = 0 的v的集合。这就是如果 L: V →W,则
![{\displaystyle \ker(L)=\left\{v\in V:L(v)=0\right\}{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cbcea30d2e4116de998ea6b527409243bf3fa3)
这里 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定义域 V 的一个线性子空间。
一个线性算子 Rm → Rn 的核与对应的 n × m 矩阵的零空间相同。
映射L的核与像。
如果 L: V → W,则 V 中两个元素在 W 中有相同的像当且仅当它们的差在 L 的核中:
![{\displaystyle L(v)=L(w)\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;L(v-w)=0{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51af5862502366585bec510008cfa36e1a8d5064)
从而 L 的像同构于 V 被这个核的商空间:
![{\displaystyle {\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d2281f401c3b8bfa19df149ea8dcb9adcb9082)
当 V 是有限维的,这蕴含着秩-零化度定理:
![{\displaystyle \dim(\ker L)+\dim({\text{im}}\,L)=\dim(V){\text{.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f7b28e8bc6d6e91f55915ac6bc52d108b42f98)
当 V 是一个内积空间是,商 V / ker(L) 可以与 ker(L) 在 V 中的正交补等同。这是一个矩阵的行空间的线性算子的推广。
- 如果 L: Rm → Rn,则 L 的核是一个齐次线性方程组的解集。例如,如果 L 是算子:
![{\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+5x_{2}-3x_{3},\;4x_{1}+2x_{2}+7x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a59f36d4807883e6b7a6176db6b467f0e73320)
则 L 的核是方程组
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&&\;+\;&&5x_{2}&&\;-\;&&3x_{3}&&\;=\;&&0\\4x_{1}&&\;+\;&&2x_{2}&&\;+\;&&7x_{3}&&\;=\;&&0\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecea58044f2d639022e72cc1370fcba61a95980)
的解集。
- 令 C[0,1] 表示区间 [0,1] 上所有连续实值函数组成的向量空间,定义 L: C[0,1]→ R 为
![{\displaystyle L(f)=f(0.3){\text{.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fd7449188d5d4385f62e3d3f7f4fd7f3a74002)
则 L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函数 f ∈ C[0,1]。
- 令 C∞(R) 是所有无穷可微函数 R → R 的向量空间,并设 D: C∞(R) → C∞(R) 是微分算子:
![{\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629d2910ee4fa7f8d96e6a416f2d3fc4b592e596)
则 D 的核由 C∞(R) 中所有导数都是零的函数组成,即常值函数。
- 令 R∞ 是无穷个 R 的直和,并设 s: R∞ → R∞ 为移位算子
![{\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7ca2b57266e16a9c3e63d5ccb87f7b7c31e8e8)
则 s 的核是由所有向量 (x1, 0, 0, ...) 组成的一维子空间。注意 s 是映上的,却有非平凡的核。
- 如果 V 是一个内积空间,W 是一个子空间,正交投影 V → W 的核是 W 在 V 中的正交补。
泛函分析中的核[编辑]
如果 V 和 W 是拓扑向量空间(且 W 是有限维的),则一个线性算子 L: V → W 是连续的当且仅当 L 的核是 V 的一个闭子空间。
相关条目[编辑]