在線性代數與泛函分析中,一個線性算子 L 的核(英語:kernel,也稱作零空間,英語:null space)是所有使 L(v) = 0 的v的集合。這就是如果 L: V →W,則
![{\displaystyle \ker(L)=\left\{v\in V:L(v)=0\right\}{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cbcea30d2e4116de998ea6b527409243bf3fa3)
這裡 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定義域 V 的一個線性子空間。
一個線性算子 Rm → Rn 的核與對應的 n × m 矩陣的零空間相同。
映射L的核與像。
如果 L: V → W,則 V 中兩個元素在 W 中有相同的像當且僅當它們的差在 L 的核中:
![{\displaystyle L(v)=L(w)\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;L(v-w)=0{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51af5862502366585bec510008cfa36e1a8d5064)
從而 L 的像同構於 V 被這個核的商空間:
![{\displaystyle {\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d2281f401c3b8bfa19df149ea8dcb9adcb9082)
當 V 是有限維的,這蘊含着秩-零化度定理:
![{\displaystyle \dim(\ker L)+\dim({\text{im}}\,L)=\dim(V){\text{.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f7b28e8bc6d6e91f55915ac6bc52d108b42f98)
當 V 是一個內積空間是,商 V / ker(L) 可以與 ker(L) 在 V 中的正交補等同。這是一個矩陣的行空間的線性算子的推廣。
- 如果 L: Rm → Rn,則 L 的核是一個齊次線性方程組的解集。例如,如果 L 是算子:
![{\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+5x_{2}-3x_{3},\;4x_{1}+2x_{2}+7x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a59f36d4807883e6b7a6176db6b467f0e73320)
則 L 的核是方程組
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&&\;+\;&&5x_{2}&&\;-\;&&3x_{3}&&\;=\;&&0\\4x_{1}&&\;+\;&&2x_{2}&&\;+\;&&7x_{3}&&\;=\;&&0\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecea58044f2d639022e72cc1370fcba61a95980)
的解集。
- 令 C[0,1] 表示區間 [0,1] 上所有連續實值函數組成的向量空間,定義 L: C[0,1]→ R 為
![{\displaystyle L(f)=f(0.3){\text{.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fd7449188d5d4385f62e3d3f7f4fd7f3a74002)
則 L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函數 f ∈ C[0,1]。
- 令 C∞(R) 是所有無窮可微函數 R → R 的向量空間,並設 D: C∞(R) → C∞(R) 是微分算子:
![{\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629d2910ee4fa7f8d96e6a416f2d3fc4b592e596)
則 D 的核由 C∞(R) 中所有導數都是零的函數組成,即常值函數。
- 令 R∞ 是無窮個 R 的直和,並設 s: R∞ → R∞ 為移位算子
![{\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7ca2b57266e16a9c3e63d5ccb87f7b7c31e8e8)
則 s 的核是由所有向量 (x1, 0, 0, ...) 組成的一維子空間。注意 s 是映上的,卻有非平凡的核。
- 如果 V 是一個內積空間,W 是一個子空間,正交投影 V → W 的核是 W 在 V 中的正交補。
泛函分析中的核[編輯]
如果 V 和 W 是拓撲向量空間(且 W 是有限維的),則一個線性算子 L: V → W 是連續的當且僅當 L 的核是 V 的一個閉子空間。
相關條目[編輯]