在量子力學裏,一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量,它也允許內積的運算。態向量的範數是1,是一個單位向量。標記量子態
的態向量為
。
每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合:
;
其中,
是單範正交基的基向量,
是單範正交基的基數,
是複值的係數,是
的分量,
是
投射於基向量
的分量,也是
處於
的機率幅。
換一種方法表達:
。
在狄拉克標記方法裏,態向量
稱為右矢。對應的左矢為
,是右矢的厄米共軛,用方程式表達為
;
其中,
象徵為取厄米共軛。
設定兩個態向量
,
。定義
內積
為
。
這內積的結果是一個複數。
1)共軛複數
內積
是
內積
的共軛複數:
。
2)歸一性
定義
內積
的平方根為
的範數,標記為
。由於態向量滿足歸一性,態向量的範數必定等於1:
。
3)柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式闡明:
。
參考文獻[编辑]
費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.