在量子力学里,一个量子系统的量子态可以抽象地用态向量来表示。态向量存在于内积空间。定义内积空间为增添了一个额外的内积结构的向量空间。态向量满足向量空间所有的公理。态向量是一种特殊的向量,它也允许内积的运算。态向量的范数是1,是一个单位向量。标记量子态
的态向量为
。
每一个内积空间都有单范正交基。态向量是单范正交基的所有基向量的线性组合:
;
其中,
是单范正交基的基向量,
是单范正交基的基数,
是复值的系数,是
的分量,
是
投射于基向量
的分量,也是
处于
的机率幅。
换一种方法表达:
。
在狄拉克标记方法里,态向量
称为右矢。对应的左矢为
,是右矢的厄米共轭,用方程式表达为
;
其中,
象征为取厄米共轭。
设定两个态向量
,
。定义
内积
为
。
这内积的结果是一个复数。
1)共轭复数
内积
是
内积
的共轭复数:
。
2)归一性
定义
内积
的平方根为
的范数,标记为
。由于态向量满足归一性,态向量的范数必定等于1:
。
3)柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式阐明:
。
参考文献[编辑]
费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台湾: 天下文化书. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.