Si(x)(红)和Ci(x)(蓝)
三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分,可在三角函数积分表中找到。
正弦积分[编辑]
有两种不同的正弦积分:
![{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e4c493d73731e28e212d9eac5762fda79c1227)
![{\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673ae085c5d87b902dbf9017e77463722593023c)
是
的原函数,当
时为零;
是
的原函数,当
时为零。我们有:
![{\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54fbc2aa3b7d3cefaf9ef192ba9274f85f2b9e8)
注意到
是sinc函数,也是第零个球贝塞尔函数。
余弦积分[编辑]
有两种不同的余弦积分:
![{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c835a8179c76192e574e1a30204c73570b4d6030)
![{\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2deed5036363144291ad26536bc6f4b1e901cf)
![{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435e5be4f79e7b292a57b6ebbf3e747feca00e7a)
其中
是欧拉-马斯刻若尼常数.
是
的原函数,当
时为零。我们有:
![{\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9ed7948f08b172569a1ae26eb2b7087feecd65)
![{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e010a874a1af6e3547e3069a15f00af715e7700)
双曲正弦积分[编辑]
![{\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674990171d0af6490ce4539e70f352cdd69eaab8)
双曲余弦积分[编辑]
![{\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc9715a7ac56352f464ee8efd626fbb0be0437a)
展开式[编辑]
有各种各样的展开式,可以用于计算三角积分。
渐近展开式[编辑]
![{\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371f7aee8b72515356ebb039a58a99419e0a7eb8)
![{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48204a44eafb4053eb0646182f24345d7e7d1757)
这些级数是发散的,但可以用来估计,甚至是精确计算三角积分。
收敛级数[编辑]
![{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb82604dc4839dda0ebd5d9453b4ed9953bad401)
![{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67360473b6018b0f2b95f234d095c4d532b550b3)
这些级数对于任何复数的
都是收敛的,但当
时,计算非常缓慢,也不是很精确。
与指数积分的关系[编辑]
函数
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd51a600134d75f363a9fbc553484e16a56b1c94)
称为指数积分,与正弦和余弦积分有以下的关系:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1335ec02fd4ce66728d7c22f0304289cee34f7)
参考文献[编辑]