使用者:Zxo.Hu/偽黎曼流形

在數學物理學中，偽黎曼流形 也稱為半黎曼流形，是一種可微流形，其度量張量處處非退化。這是黎曼流形的推廣，其中放寬了正定性的要求。

偽黎曼流形的每個切空間都是偽歐幾里得向量空間。

廣義相對論中使用的一個特例是用於建模時空的四維洛倫茲流形，其中切向量可分為類時間、零和類空間。

介紹

流形

在微分幾何中，可微流形是局部類似於歐氏空間的空間。在n維歐幾里得空間中，任何一點都可以用n 個實數指定。這些被稱為點的坐標。

n維可微流形是n維歐氏空間的概括。在流形中可能只能局部定義坐標。這是通過定義坐標補丁來實現的：可以映射到n維歐幾里得空間的流形子集。

有關更多詳細信息，請參閱流形、可微流形、坐標補丁。

切空間和度量張量

與每個點相關$p$在一個$n$維可微流形$M$是一個切空間（表示為$T_{p}M$ ）。這是一個$n$維向量空間，其元素可以被認為是通過點的曲線的等價類$p$ 。

度量張量是一種非退化、光滑、對稱、雙線性映射，它為流形的每個切空間中的切向量對分配一個實數。將度量張量表示為$g$我們可以將其表達為

$g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .$

該映射是對稱且雙線性的，因此如果$X,Y,Z\in T_{p}M$是某一點的切向量$p$到流形$M$那麼對於任何實數$a\in \mathbb {R}$ , 我們有

• $\,g(X,Y)=g(Y,X)$
• $\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

這是非退化的，意味著不存在對所有$Y\in T_{p}M$都適用的非零$X\in T_{p}M$$g(X,Y)=0$

度量簽名

主條目：Metric signature

給定n維實流形上的度量張量g ，與該度量張量相關的二次型q(x) = g(x, x)應用於任何正交基的每個向量都會產生n 個實值。根據西爾維斯特慣性定律，以這種方式產生的正值、負值和零值的數量都是度量張量的不變量，與正交基的選擇無關。度量張量的簽名(p, q, r)給出了這些數字，以相同的順序顯示。非退化度量張量的r = 0且簽名可以表示為(p, q) ，其中p + q = n 。

定義

偽黎曼流形(M, g)是可微流形M ，其具有處處非退化、光滑、對稱的度量張量g 。

這樣的度量稱為偽黎曼度量。應用於矢量場，流形上任何一點的純量場值可以是正、負或零。

偽黎曼度量的簽名是(p, q) ，其中p和q均為非負。非退化條件與連續性一起意味著p和q在整個流形中保持不變（假設它是連通的）。

洛倫茲流形

洛倫茲流形是偽黎曼流形的一個重要特例，其中度量的符號為(1, n−1) （等價於(n−1, 1) ；參見符號約定）。這樣的度量被稱為洛倫茲度量。它們以荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲 (Hendrik Lorentz) 的名字命名。

物理學中的應用

洛倫茲流形是繼黎曼流形之後偽黎曼流形最重要的子類。它們在廣義相對論的應用中很重要。

廣義相對論的一個主要前提是，時空可以建模為一個四維洛倫茲流形，其特徵為(3, 1) ，或者等效地為(1, 3) 。與具有正定度量的黎曼流形不同，不定簽名允許將切向量分類為類時間、零或類空間。當流形具有(p, 1)或(1, q)的簽名時，它也是局部（也可能是全局）時間可定向的（參見因果結構）。

偽黎曼流形的性質

就像歐氏空間$\mathbb {R} ^{n}$可以被認為是黎曼流形的局部模型，閔可夫斯基空間$\mathbb {R} ^{n-1,1}$採用平坦的閔可夫斯基度量是洛倫茲流形的局部模型。同樣地，特徵為 ( p, q ) 的偽黎曼流形的模型空間是偽歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{p,q}$ ，存在坐標x _i使得

$g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}$

黎曼幾何的一些定理可以推廣到偽黎曼情況。特別是，黎曼幾何基本定理對所有偽黎曼流形都成立。這使得人們可以談論偽黎曼流形上的列維-奇維塔聯絡以及相關的曲率張量。另一方面，黎曼幾何中有許多定理在廣義情況下不成立。例如，並不是每個光滑流形都允許給定特徵的偽黎曼度量；存在某些拓撲障礙。此外，子流形並不總是繼承偽黎曼流形的結構；例如，在任何類光曲線上，度量張量都變為零。克利夫頓-波爾環面是緊緻但不完備的偽黎曼流形的一個例子，霍普夫-里諾定理不允許黎曼流形具有這種性質。

參見

• 因果關係條件
• 全局雙曲流形
• 雙曲偏微分方程
• 可定向流形
• 時空
• 發條火箭

參考

• Benn, I.M.; Tucker, R.W., An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics First published 1987, Adam Hilger, 1987, ISBN 0-85274-169-3 
• Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I., Tensor Analysis on Manifolds First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6 
• Chen, Bang-Yen, Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, 2011, ISBN 978-981-4329-63-7 
• O'Neill, Barrett, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics 103, Academic Press, 1983, ISBN 9780080570570 
• Vrănceanu, G.; Roşca, R., Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România, 1976 

外部連結

• 維基共享資源上的相關多媒體資源：Zxo.Hu/偽黎曼流形