User:Zxo.Hu/伪黎曼流形

在数学物理学中，伪黎曼流形 也称为半黎曼流形，是一种可微流形，其度量张量处处非退化。这是黎曼流形的推广，其中放宽了正定性的要求。

伪黎曼流形的每个切空间都是伪欧几里得向量空间。

广义相对论中使用的一个特例是用于建模时空的四维洛伦兹流形，其中切向量可分为类时间、零和类空间。

介绍

流形

在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。

n维可微流形是n维欧氏空间的概括。在流形中可能只能局部定义坐标。这是通过定义坐标补丁来实现的：可以映射到n维欧几里得空间的流形子集。

有关更多详细信息，请参阅流形、可微流形、坐标补丁。

切空间和度量张量

与每个点相关$p$在一个$n$维可微流形$M$是一个切空间（表示为$T_{p}M$ ）。这是一个$n$维向量空间，其元素可以被认为是通过点的曲线的等价类$p$ 。

度量张量是一种非退化、光滑、对称、双线性映射，它为流形的每个切空间中的切向量对分配一个实数。将度量张量表示为$g$我们可以将其表达为

$g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .$

该映射是对称且双线性的，因此如果$X,Y,Z\in T_{p}M$是某一点的切向量$p$到流形$M$那么对于任何实数$a\in \mathbb {R}$ , 我们有

• $\,g(X,Y)=g(Y,X)$
• $\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

这是非退化的，意味着不存在对所有$Y\in T_{p}M$都适用的非零$X\in T_{p}M$$g(X,Y)=0$

度量签名

主条目：Metric signature

给定n维实流形上的度量张量g ，与该度量张量相关的二次型q(x) = g(x, x)应用于任何正交基的每个向量都会产生n 个实值。根据西尔维斯特惯性定律，以这种方式产生的正值、负值和零值的数量都是度量张量的不变量，与正交基的选择无关。度量张量的签名(p, q, r)给出了这些数字，以相同的顺序显示。非退化度量张量的r = 0且签名可以表示为(p, q) ，其中p + q = n 。

定义

伪黎曼流形(M, g)是可微流形M ，其具有处处非退化、光滑、对称的度量张量g 。

这样的度量称为伪黎曼度量。应用于矢量场，流形上任何一点的标量场值可以是正、负或零。

伪黎曼度量的签名是(p, q) ，其中p和q均为非负。非退化条件与连续性一起意味着p和q在整个流形中保持不变（假设它是连通的）。

洛伦兹流形

洛伦兹流形是伪黎曼流形的一个重要特例，其中度量的符号为(1, n−1) （等价于(n−1, 1) ；参见符号约定）。这样的度量被称为洛伦兹度量。它们以荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹 (Hendrik Lorentz) 的名字命名。

物理学中的应用

洛伦兹流形是继黎曼流形之后伪黎曼流形最重要的子类。它们在广义相对论的应用中很重要。

广义相对论的一个主要前提是，时空可以建模为一个四维洛伦兹流形，其特征为(3, 1) ，或者等效地为(1, 3) 。与具有正定度量的黎曼流形不同，不定签名允许将切向量分类为类时间、零或类空间。当流形具有(p, 1)或(1, q)的签名时，它也是局部（也可能是全局）时间可定向的（参见因果结构）。

伪黎曼流形的性质

就像欧氏空间$\mathbb {R} ^{n}$可以被认为是黎曼流形的局部模型，闵可夫斯基空间$\mathbb {R} ^{n-1,1}$采用平坦的闵可夫斯基度量是洛伦兹流形的局部模型。同样地，特征为 ( p, q ) 的伪黎曼流形的模型空间是伪欧几里得空间$\mathbb {R} ^{p,q}$ ，存在坐标x _i使得

$g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}$

黎曼几何的一些定理可以推广到伪黎曼情况。特别是，黎曼几何基本定理对所有伪黎曼流形都成立。这使得人们可以谈论伪黎曼流形上的列维-奇维塔联络以及相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何中有许多定理在广义情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都允许给定特征的伪黎曼度量；存在某些拓扑障碍。此外，子流形并不总是继承伪黎曼流形的结构；例如，在任何类光曲线上，度量张量都变为零。克利夫顿-波尔环面是紧致但不完备的伪黎曼流形的一个例子，霍普夫-里诺定理不允许黎曼流形具有这种性质。

参见

• 因果关系条件
• 全局双曲流形
• 双曲偏微分方程
• 可定向流形
• 时空
• 发条火箭

参考

• Benn, I.M.; Tucker, R.W., An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics First published 1987, Adam Hilger, 1987, ISBN 0-85274-169-3 
• Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I., Tensor Analysis on Manifolds First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6 
• Chen, Bang-Yen, Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, 2011, ISBN 978-981-4329-63-7 
• O'Neill, Barrett, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics 103, Academic Press, 1983, ISBN 9780080570570 
• Vrănceanu, G.; Roşca, R., Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România, 1976 

外部链接

• 维基共享资源上的相關多媒體資源：Zxo.Hu/伪黎曼流形