使用者:Wasguru

把人/鞦韆系統看作一個變長的擺。其狀態可以用擺長r和偏離垂直位置的角度$\theta$來表示。某一時刻擺的徑向速度為${\dot {r}}$，切向速度為$r{\dot {\theta }}$。故系統的動能為${\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m(r{\dot {\theta }})^{2}$，系統的重力勢能為$-mgr\cos \theta$。所以，系統的Lagrangian量為

$L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m(r{\dot {\theta }})^{2}+mgr\cos \theta$

據此可以獲得兩個運動方程。其中關於徑向運動的方程我們不感興趣，因為那個是由盪鞦韆的人自主決定的。關於角度的運動方程為

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \theta }}$，

代入Lagrangian量，化簡得

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=-g\sin \theta$

兩邊都乘上${\dot {\theta }}\,dt$，得

$\displaystyle r{\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}\,dt+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}\,dt=-g\sin \theta \,{\dot {\theta }}\,dt$

左邊的第一項可變為

$r{\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}\,dt=r{\dot {\theta }}\,d{\dot {\theta }}={\frac {1}{2}}r\,d({\dot {\theta }}^{2})={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(r{\dot {\theta }}^{2})\,dt-{\frac {1}{2}}{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}\,dt$

代入後，化簡為

${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(r{\dot {\theta }}^{2})\,dt+{\frac {3}{2}}{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}\,dt=-g\sin \theta \,{\dot {\theta }}\,dt$

現在把上式從時間0到T積分。其中時刻0規定為鞦韆位於左邊最高處的時刻，並設此時的$\theta =-\theta _{0}$。時刻T規定為鞦韆擺到右邊最高處的時刻，並設此時$\theta =\theta _{1}$。則有：

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d}{dt}}(r{\dot {\theta }}^{2})\,dt+{\frac {3}{2}}\int _{0}^{T}{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}\,dt=-g\int _{0}^{T}\sin \theta \,{\dot {\theta }}\,dt$

因為在兩個端點角速度都為零，所以第一項積分為零。於是可得

${\frac {3}{2g}}\int _{0}^{T}{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}\,dt=\cos \theta _{1}-\cos \theta _{0}$

如果希望鞦韆越擺越高，也就是$\theta _{1}>\theta _{0}$，或$\cos \theta _{1}<\cos \theta _{0}$，那麼只要滿足以下判據即可

$\int _{0}^{T}{\dot {r}}{\dot {\theta }}^{2}\,dt<0$

當然，考慮到人的位置必須復原，還應有條件

$\int _{0}^{T}{\dot {r}}\,dt=0$

要滿足以上條件，一種做法就是在角速度最大的時候（最低處）提高重心，產生一個負的徑向速度。而在角速度最小的時候（最高處）降低重心，以復原位置，此時正的徑向速度對判據積分沒什麼貢獻。