使用者:Samuel Adrian Antz/Drafts

二維楊-米爾斯理論

在微分幾何中，二維楊-米爾斯理論(也D=2楊-米爾斯理論，短D=2 YM)是在二維度流形上的特例。在這種特殊情況下，可以在主纖維束的所有連接空間及其軌道空間上構建關於軌距組的楊-米爾斯測度。

基礎知識

讓$G$是一個具有李代數${\mathfrak {g}}$的李群，$E\rightarrow B$是一個$G$-主叢，其中$B$是一個可定向黎曼2-流形。讓$A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$是聯絡與$F_{A}:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$是曲率形式。由於$B$是二維的，因此可以對$\operatorname {tr} (F_{A})\in \Omega ^{2}(B)$（也寫為$\langle F_{A}\rangle$）進行積分。（這需要黎曼結構。）由於彼得-魏爾定理，存在一個包含$G<\operatorname {U} (n)$。根據陳-韋伊理論，這給出了主纖維束的第一陳類（定義為配叢$E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow B$的第一陳類）：

$\langle c_{1}(E),[B]\rangle =\langle c_{1}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle =-{\frac {i}{2\pi }}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A})\in \mathbb {Z} .$

為簡化起見，第一陳類$c_{1}(E)\in H^{2}(B;\mathbb {Z} )$與定向（也包含在積分中）給出的類$[B]\in H_{2}(B,\mathbb {Z} )$的克羅內克配對經常被省略。然而，在這種情況下，方程是將一個余調類與一個整數進行比較。

特例

在楊-米爾斯方程$\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$中，霍奇對偶$\star$也應用於曲率形式$F_{A}$。為了$B$是二維的，因此會產生一個0-微分形式$\star F_{A}\in \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))=\Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$。

應用於2-球面

簡單的2-流形是2-球面$S^{2}$。複數霍普夫纖維化$h_{\mathbb {C} }\colon S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}$是$S^{2}$上的一個$\operatorname {U} (1)$-主叢。這種主叢應於三維磁單極子（也稱為狄拉克磁單極子）電荷的量子化。這與它們的整數分類相對應：

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(S^{2})\cong [S^{2},\operatorname {BU} (1)]=\pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z} .$

另見

• 四維楊米爾斯理論

參考文獻

• Gerard 't Hooft, A Two-Dimensional Model For Mesons, Nucl. Phys. B 75, 1974, 75: 461–470, doi:10.1016/0550-3213(74)90088-1 （英語） 
• Dana S. Fine, Quantum Yang-Mills on the two-sphere, Communications in Mathematical Physics 134, 1990, 134: 273–292, doi:10.1007/BF02097703 （英語） 
• Dana S. Fine, Quantum Yang-Mills on a Riemann surface, Communications in Mathematical Physics 140, 1991, 140: 321–338, doi:10.1007/BF02099502 （英語） 
• Ambar Sengupta, The Yang-Mills measure for S2, Journal of Functional Analysis 108 (2), 1992, 108 (2): 231–273, doi:10.1016/0022-1236(92)90025-E （英語） 
• Ambar Sengupta, Quantum Gauge Theory on Compact Surfaces, Annals of Physics 221 (1), 1993, 221 (1): 17–52, doi:10.1006/aphy.1993.1002 （英語） 

外部連結

• D=2 Yang-Mills theory在nLab

四維楊-米爾斯理論

在微分幾何中，四維楊-米爾斯理論(也D=4楊-米爾斯理論，短D=4 YM)是在四維度流形上的特例。在這種特殊情況下，允許將二階楊-米爾斯方程還原為更簡單的一階（反）自雙楊-米爾斯方程。

基礎知識

讓$G$是一個具有李代數${\mathfrak {g}}$的李群，$E\rightarrow B$是一個$G$-主叢，其中$B$是一個可定向黎曼4-流形。讓$A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$是聯絡與$F_{A}:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$是曲率形式。由於$B$是四維的，因此可以對$\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \Omega ^{4}(B)$（也寫為$\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle$）進行積分。（這需要黎曼結構。）由於彼得-魏爾定理，存在一個包含$G<\operatorname {U} (n)$。 根據陳-韋伊理論，這給出了主纖維束的第二陳類（定義為配叢$E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow B$的第二陳類）：

$\langle c_{2}(E),[B]\rangle =\langle c_{2}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle ={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \mathbb {Z} .$

為簡化起見，第一陳類$c_{2}(E)\in H^{4}(B;\mathbb {Z} )$與定向（也包含在積分中）給出的類$[B]\in H_{4}(B,\mathbb {Z} )$的克羅內克配對經常被省略。然而，在這種情況下，方程是將一個余調類與一個整數進行比較。

特例

在楊-米爾斯方程$\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$中，霍奇對偶$\star$也應用於曲率形式$F_{A}$。為了$B$是四維的，因此會產生一個2-微分形式$\star F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$。

應用於4-球面

簡單的4-流形是4-球面$S^{4}$。四元數霍普夫纖維化$h_{\mathbb {H} }\colon S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}$是$S^{4}$上的一個$\operatorname {Sp} (1)$-主叢。這種主叢應於三維磁單極子（也稱為吳-楊磁單極子）電荷的量子化。這與它們的整數分類相對應：

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {Sp} (1)}(S^{4})\cong [S^{4},\operatorname {BSp} (1)]=\pi _{4}\operatorname {BSp} (1)\cong \pi _{3}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{3}S^{3}\cong \mathbb {Z} .$

另見

• 二維楊米爾斯理論

參考文獻

外部連結

• D=4 Yang-Mills theory在nLab

O(n)的分類空間

數學中，特別是K-理論與代數拓撲中，正交群$\operatorname {O} (n)$的分類空間$\operatorname {BO} (n)$是通用$\operatorname {O} (n)$主叢$\operatorname {EO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (n)$的基空間。這意味著，CW復形上的$\operatorname {O} (n)$主叢直到同構都與進入$\operatorname {BO} (n)$的連續映射的同倫類是雙射的。同構是透過拉回叢的。

定義

有一個由$\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$給出的實數格拉斯曼流形的典型包含。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {BO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k}).$

最簡單的例子

• $\operatorname {BO} (1)$是無窮維實射影空間$\mathbb {R} P^{\infty }$。（為了$\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{k})=\mathbb {R} P^{k}$。）

主叢的分類

給定拓撲空間$X$，其上直到同構的$\operatorname {O} (n)$主叢集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {O} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW復形，則映射：

$[X,\operatorname {BO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {O} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {EO} (n)$

是雙射的。

上同調環

係數取$\mathbb {Z} _{2}$的上同調環是:

$H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].$

無窮分類空間

典範夾雜$\operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)$在它們各自的分類空間上引起典範夾雜$\operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)$。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {O} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n);$

$\operatorname {BO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BO} (n).$

$\operatorname {BO}$確實是$\operatorname {O}$的分類空間。

另見

• 酉群的分類空間
• 特殊正交群的分類空間
• 特殊酉群的分類空間

參考文獻

• Milnor, John; Stasheff, James. Characteristic classes (PDF). Princeton University Press. 1974. ISBN 9780691081229. doi:10.1515/9781400881826 （英語）. 
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79160-X （英語）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部連結

• BO(n)在nLab

U(n)的分類空間

數學中，特別是K-理論與代數拓撲中，酉群$\operatorname {U} (n)$的分類空間$\operatorname {BU} (n)$是通用$\operatorname {U} (n)$主叢$\operatorname {EU} (n)\rightarrow \operatorname {BU} (n)$的基空間。這意味著，CW復形上的$\operatorname {U} (n)$主叢直到同構都與進入$\operatorname {BU} (n)$的連續映射的同倫類是雙射的。同構是透過拉回叢的。

定義

有一個由$\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$給出的複數格拉斯曼流形的典型包含。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {BU} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k}).$

最簡單的例子

• $\operatorname {BU} (1)$是無窮維復射影空間$\mathbb {C} P^{\infty }$。（為了$\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {C} ^{k})=\mathbb {C} P^{k}$。）

主叢的分類

給定拓撲空間$X$，其上直到同構的$\operatorname {U} (n)$主叢集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW復形，則映射：

$[X,\operatorname {BU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {EU} (n)$

是雙射的。

上同調環

係數取$\mathbb {Z}$的上同調環是:

$H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].$

無窮分類空間

典範夾雜$\operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)$在它們各自的分類空間上引起典範夾雜$\operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)$。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);$

$\operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).$

$\operatorname {BU}$確實是$\operatorname {U}$的分類空間。

另見

• 正交群的分類空間
• 特殊正交群的分類空間
• 特殊酉群的分類空間

參考文獻

• Milnor, John; Stasheff, James. Characteristic classes (PDF). Princeton University Press. 1974. ISBN 9780691081229. doi:10.1515/9781400881826 （英語）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部連結

• BU(n)在nLab

SO(n)的分類空間

數學中，特別是K-理論與代數拓撲中，特殊正交群$\operatorname {SO} (n)$的分類空間$\operatorname {BSO} (n)$是通用$\operatorname {SO} (n)$主叢$\operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$的基空間。這意味著，CW復形上的$\operatorname {SO} (n)$主叢直到同構都與進入$\operatorname {BSO} (n)$的連續映射的同倫類是雙射的。同構是透過拉回叢的。

定義

有一個由${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$給出的可定向實數格拉斯曼流形的典型包含。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).$

最簡單的例子

• 由於$\operatorname {SO} (1)\cong 1$是瑣碎群，$\operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}$適用。
• 由於$\operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)$，$\operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$適用。

主叢的分類

給定拓撲空間$X$，其上直到同構的$\operatorname {SO} (n)$主叢集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW復形，則映射：

$[X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)$

是雙射的。

上同調環

係數取$\mathbb {Z} _{2}$的上同調環是:

$H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].$

無窮分類空間

典範夾雜$\operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)$在它們各自的分類空間上引起典範夾雜$\operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)$。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n);$

$\operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n).$

$\operatorname {BSO}$確實是$\operatorname {SO}$的分類空間。

另見

• 正交群的分類空間
• 酉群的分類空間
• 特殊酉群的分類空間

參考文獻

• Milnor, John; Stasheff, James. Characteristic classes (PDF). Princeton University Press. 1974. ISBN 9780691081229. doi:10.1515/9781400881826 （英語）. 
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79160-X （英語）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部連結

• BSO(n)在nLab

SU(n)的分類空間

數學中，特別是K-理論與代數拓撲中，特殊酉群$\operatorname {SU} (n)$的分類空間$\operatorname {BSU} (n)$是通用$\operatorname {U} (n)$主叢$\operatorname {ESU} (n)\rightarrow \operatorname {BSU} (n)$的基空間。這意味著，CW復形上的$\operatorname {SU} (n)$主叢直到同構都與進入$\operatorname {BSU} (n)$的連續映射的同倫類是雙射的。同構是透過拉回叢的。

定義

有一個由${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$給出的可定向複數格拉斯曼流形的典型包含。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {BSU} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k}).$

最簡單的例子

• 由於$\operatorname {SU} (1)\cong 1$是瑣碎群，$\operatorname {BSU} (1)\cong \{*\}$適用。
• 由於$\operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)$，$\operatorname {BSU} (2)\cong \operatorname {BSp} (1)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$適用。

主叢的分類

給定拓撲空間$X$，其上直到同構的$\operatorname {SU} (n)$主叢集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW復形，則映射：

$[X,\operatorname {BSU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESU} (n)$

是雙射的。

上同調環

係數取$\mathbb {Z}$的上同調環是:

$H^{*}(\operatorname {BSU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{2},\ldots ,c_{n}].$

無窮分類空間

典範夾雜$\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SU} (n+1)$在它們各自的分類空間上引起典範夾雜$\operatorname {BSU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSU} (n+1)$。它們各自的余極限記為：

$\operatorname {SU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SU} (n);$

$\operatorname {BSU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSU} (n).$

$\operatorname {BSU}$確實是$\operatorname {SU}$的分類空間。

另見

• 正交群的分類空間
• 酉群的分類空間
• 特殊正交群的分類空間

參考文獻

• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79160-X （英語）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部連結

• BSU(n)在nLab

同倫球面

數學中，特別是代數拓撲中，同倫球面是

定義

性質

例子

• $n$-維球面$S^{n}$顯然就是$n$-同倫球面。

外部連結

• homotopy sphere在nLab

有理同倫球面

數學中，特別是代數拓撲中，有理同倫$n$-球面是$n$維流形，具有與$n$-球相同的有理同倫群。除其他外，這些信息有助於了解空間的有理同倫群能夠或不能測量哪些信息，以及與空間的（積分）同倫群相比，忽略扭化會導致哪些衰減。

定義

有理同倫$n$-球面是$n$-維流形$\Sigma$，具有與$n$-球$S^{n}$相同的有理同倫群:

$\pi _{k}(\Sigma )\otimes \mathbb {Q} =\pi _{k}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=n{\text{ if }}n{\text{ even}}\\\mathbb {Z} &;k=n,2n-1{\text{ if }}n{\text{ odd}}\\1&;{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

性質

例子

• $n$維球面$S^{n}$顯然就是有理同倫$n$-球面。
• 偽圓是有理同倫$1$-球面，但不是同倫$1$-球面。
• 實射影空間$\mathbb {R} P^{n}$是對於所有$n>0$的有理同倫球面。

另見

• 有理同調球面

參考文獻

• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 

外部連結

• rational homotopy sphere在nLab

有理同調球面

數學中，特別是代數拓撲中，有理同調$n$-球面是$n$維流形，具有與$n$-球相同的有理同調群。除其他外，這些信息有助於了解空間的有理同調群能夠或不能測量哪些信息，以及與空間的（積分）同調群相比，忽略扭化會導致哪些衰減。

定義

有理同調$n$-球面是$n$-維流形$\Sigma$，具有與$n$-球$S^{n}$相同的有理同調群:

$H_{k}(\Sigma ,\mathbb {Q} )=H_{k}(S^{n},\mathbb {Q} )\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ or }}k=n\\1&;{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

性質

例子

• $n$維球面$S^{n}$顯然就是有理同調$n$-球面。
• 龐加萊同調球面尤其是有理同調$3$-球面。
• 實射影空間$\mathbb {R} P^{n}$是對於奇數$n>0$的有理同倫球面。

另見

• 有理同倫球面

參考文獻

• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 

外部連結

• rational homology sphere在nLab

楊-米爾斯方程

在數學中，特別微分幾何中，楊-米爾斯方程（YM方程）是

楊-米爾斯方程以楊振寧與羅伯特·米爾斯命名。

定義

讓$G$是一個具有李代數${\mathfrak {g}}$的緊湊李群。讓$E\twoheadrightarrow B$是一個$G$-主叢，$B$是一個緊湊的可定向黎曼流形，具有度量$g$與體積形式$\operatorname {vol} _{g}$。 讓$\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$是它的伴隨叢。$\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$是聯絡的空間。由於霍奇對偶⋆是在基流形$B$上定義的，需要度量 $g$和體積形式$\operatorname {vol} _{g}$，因此通常使用第二個空間。

楊-米爾斯作用量由以下公式給出：

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

又見

• 楊-米爾斯-希格斯方程組

外部連結

• Yang-Mills equation 在 nLab

穩定楊-米爾斯聯絡

在數學中，特別微分幾何中，穩定楊-米爾斯聯絡（穩定YM聯絡）是

穩定楊-米爾斯聯絡以楊振寧與羅伯特·米爾斯命名。

又見

• 穩定楊-米爾斯-希格斯對

外部連結

• stable Yang-Mills equation 在 nLab

楊-米爾斯流

使用一條流動線實現梯度下降的可視化

在數學中，特別微分幾何中，楊-米爾斯流（YM流）是楊-米爾斯作用量的梯度流。它利用楊-米爾斯方程描述了梯度下降法。

楊-米爾斯流以楊振寧與羅伯特·米爾斯命名。

定義

楊-米爾斯作用量由以下公式給出：

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

XXXX：

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(\alpha (t))=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}$

是楊-米爾斯流。

又見

• 楊-米爾斯-希格斯流
• 塞伯格-維騰流

延伸閱讀

• Kelleher, Casey Lynn; Streets, Jeffrey. Singularity formation of the Yang-Mills flow. 2016-02-09. arXiv:1602.03125 . 
• Alex, Waldron. Long-time existence for Yang-Mills flow. 2016-10-16. arXiv:1610.03424 . 
• Zhang, Pan. Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 2020-03-30. arXiv:2004.00420 . 

外部連結

• Yang-Mills flow 在 nLab

楊-米爾斯-希格斯方程組

在數學中，特別微分幾何中，楊-米爾斯-希格斯方程組（YMH方程組）是

楊-米爾斯-希格斯方程組以楊振寧，羅伯特·米爾斯與彼得·希格斯命名。

定義

楊-米爾斯-希格斯作用量由以下公式給出：

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

又見

• 楊-米爾斯方程

外部連結

• Yang-Mills-Higgs equations 在 nLab

穩定楊-米爾斯-希格斯對

在數學中，特別微分幾何中，穩定楊-米爾斯-希格斯對（穩定YMH對）是

穩定楊-米爾斯-希格斯對以楊振寧，羅伯特·米爾斯與彼得·希格斯命名。

又見

• 穩定楊-米爾斯聯絡

外部連結

• stable Yang-Mills-Higgs pair 在 nLab

楊-米爾斯-希格斯流

使用一條流動線實現梯度下降的可視化

在數學中，特別微分幾何中，楊-米爾斯-希格斯流（YMH流）流是楊-米爾斯-希格斯作用量的梯度流。它利用楊-米爾斯-希格斯方程描述了梯度下降法。

楊-米爾斯-希格斯流以楊振寧，羅伯特·米爾斯與彼得·希格斯命名。

定義

楊-米爾斯-希格斯作用量由以下公式給出：

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

XXXX：

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{1}=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}-[\varphi (t),\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)]$

$\varphi '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{2}=-\delta _{\alpha (t)}\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)$

是楊-米爾斯-希格斯流。

又見

• 楊-米爾斯流
• 塞伯格-維騰流

延伸閱讀

• Zhang, Pan. Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 2020-03-30. arXiv:2004.00420 . 
• Changpeng Pan, Zhenghan Shen, Pan Zhang. The Limit of the Yang-Mills-Higgs Flow for twisted Higgs pairs. 2023-01-04. arXiv:2301.02552 . 

外部連結

• Yang-Mills-Higgs flow 在 nLab

塞伯格-維騰方程組

在數學中，特別微分幾何中，塞伯格-維騰方程組（SW方程組）是

塞伯格-維騰方程組以內森·塞伯格與愛德華·威滕命名。

定義

塞伯格-維騰作用量由以下公式給出：

外部連結

• Seiberg-Witten equations 在 nLab

塞伯格-維騰流

使用一條流動線實現梯度下降的可視化

在數學中，特別微分幾何中，塞伯格-維騰流（SW流）是塞伯格-維騰作用量的梯度流。它利用塞伯格-維騰方程描述了梯度下降法。

塞伯格-維騰流以內森·塞伯格與愛德華·威滕命名。

定義

塞伯格-維騰作用量由以下公式給出：

又見

• 楊-米爾斯流
• 楊-米爾斯-希格斯流

延伸閱讀

• Hong, Min-Chun Hong; Schabrun, Lorenz. Global Existence for the Seiberg-Witten Flow. 2009-09-10. arXiv:0909.1855 . 
• Schabrun, Lorenz. Seiberg-Witten Flow in Higher Dimensions. 2010-03-09. arXiv:1003.1765 . 

外部連結

• Seiberg-Witten flow 在 nLab

發條火箭

《發條火箭》(英語: The Clockwork Rocket)是澳大利亞作家格雷格·伊根於2011年創作的科幻小說。本書是「正交宇宙」(英語: Orthogonal)的第一部，由Night Shade Books與維克多·格蘭茨出版社出版。三部曲的其他小說是《永恆烈焰》與《時間之箭》。

簡介

背景

該小說獲得了 2012 年軌跡獎最佳科幻小說獎提名，並獲得第 13 名。

日文譯本於 2016 年由 Hayakawa Publishing 出版。 譯者為山岸真與中村融。

外部連結

• 官方網站
• 《發條火箭》在網路推想小說資料庫(ISFDB)
• 摘自《發條火箭》

永恆烈焰

《永恆烈焰》(英語: The Eternal Flame)是澳大利亞作家格雷格·伊根於2012年創作的科幻小說。本書是「正交宇宙」(英語: Orthogonal)的第二部，由Night Shade Books與維克多·格蘭茨出版社出版。三部曲的其他小說是《發條火箭》與《時間之箭》。

簡介

背景

該小說獲得了 2013 年軌跡獎最佳科幻小說獎提名，並獲得第 20 名。

日文譯本於 2016 年由 Hayakawa Publishing 出版。 譯者為山岸真與中村融。

外部連結

• 官方網站
• 《永恆烈焰》在網路推想小說資料庫(ISFDB)
• 摘自《永恆烈焰》

時間之箭

《時間之箭》(英語: The Arrows of Time)是澳大利亞作家格雷格·伊根於2013年創作的科幻小說。本書是「正交宇宙」(英語: Orthogonal)的第三部，由Night Shade Books與維克多·格蘭茨出版社出版。三部曲的其他小說是《發條火箭》與《永恆烈焰》。

簡介

背景

該小說獲得了 2014 年軌跡獎最佳科幻小說獎提名，並獲得第 14 名。

日文譯本於 2017 年由 Hayakawa Publishing 出版。 譯者為山岸真與中村融。

外部連結

• 官方網站
• 《時間之箭》在網路推想小說資料庫(ISFDB)
• 摘自《時間之箭》

艾倫伯格-麥克蘭恩空間

在代數拓撲學中，艾倫伯格-麥克蘭恩空間(英語: Eilenberg–MacLane space)是一個特別的拓撲空間只有一個不瑣碎既約同倫群。

定義

引理

• XXXX:

  $K(G\oplus H,n)\simeq K(G,n)\times K(H,n)$。

• 圈空間的一個艾倫伯格-麥克蘭恩空間也是一個艾倫伯格–麥克蘭恩空間:

  $\Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1)$。

• 多爾–德托姆定理(Dold–Thom theorem, 在Algebraic Topology中看到Theorem 4K.6.): 無限對稱積的一個摩爾空間是一個艾倫伯格-麥克蘭恩空間:

  $\operatorname {SP} (M(G,n))\simeq K(G,n)$。

• 根據定義，艾倫伯格-麥克蘭恩空間$K(G,n)$是$n-1$-連接的。由胡列維茨定理得出:

  $H_{n}(K(G,n))\cong G$

  $H_{n+1}(K(G,n))\cong 1$。

例子

• $1$-球面$S^{1}$是$K(\mathbb {Z} ,1)$。(在Algebraic Topology中看到Example 1B.1.)
• $n$-環面$T^{n}$是$K(\mathbb {Z} ^{n},1)$。(在Algebraic Topology中看到Example 1B.5.)
• 無窮實射影空間$\mathbb {R} P^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} _{2},1)$。(在Algebraic Topology中看到Example 1B.3.)
• 無窮復射影空間$\mathbb {C} P^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} ,2)$。(在Algebraic Topology中看到Example 4.50.)

又見

• 摩爾空間，與同調類似的概念。
• 彼得森空間，與余調類似的概念。

摩爾空間

在代數拓撲學中，摩爾空間(英語: Moore space)是一個特別的CW復形只有一個不瑣碎既約同調群。

定義

引理

• 雙角錐的一個摩爾空間也是一個摩爾空間:

  $\Sigma M(G,n)\simeq M(G,n+1)$。

• 多爾–德托姆定理(Dold–Thom theorem, 在Algebraic Topology中看到Theorem 4K.6.): 無限對稱積的一個摩爾空間是一個艾倫伯格–麥克蘭恩空間:

  $\operatorname {SP} (M(G,n))\simeq K(G,n)$。

• 如果摩爾空間$M(G,n)$是單連通，使用胡列維茨定理$n-1$次給出$M(G,n)$是$n-1$-連接的和:

  $\pi _{n}(M(G,n))\cong G$。

例子

• $n$-球面$S^{n}$是$M(\mathbb {Z} ,n)$。
• 實射影平面$\mathbb {R} P^{2}$是$M(\mathbb {Z} _{2},1)$。所以它的$n$-次雙角錐$\Sigma ^{n}\mathbb {R} P^{2}$是$M(\mathbb {Z} _{2},n+1)$。

又見

• 同調球面，一個特殊的摩爾空間。
• 艾倫伯格–麥克蘭恩空間，與同倫類似的概念。
• 彼得森空間，與余調類似的概念。

彼得森空間

在代數拓撲學中，彼得森空間(英語: Peterson space)是一個特別的拓撲空間只有一個不瑣碎既約余調群。

定義

引理

例子

• $n$-球面$S^{n}$是彼得森空間$P(\mathbb {Z} ,n)$。

又見

• 艾倫伯格–麥克蘭恩空間，與同倫類似的概念。
• 摩爾空間，與同調類似的概念。

醫院

《醫院》是中國大陸作家韓松於2016年創作的科幻小說。本書是醫院三部曲的第一部。三部曲的其他小說是《驅魔》與《亡靈》。

簡介

背景

外部連結

• 《醫院》在豆瓣
• 《醫院》在網路推想小說資料庫(ISFDB)

驅魔

《驅魔》是中國大陸作家韓松於2017年創作的科幻小說。本書是醫院三部曲的第二部。三部曲的其他小說是《醫院》與《亡靈》。

簡介

背景

外部連結

• 《驅魔》在豆瓣
• 《驅魔》在網路推想小說資料庫(ISFDB)

亡靈

《亡靈》是中國大陸作家韓松於2018年創作的科幻小說。本書是醫院三部曲的第三部。三部曲的其他小說是《醫院》與《驅魔》。

簡介

背景

外部連結

• 《亡靈》在豆瓣
• 《亡靈》在網路推想小說資料庫(ISFDB)

從流浪地球到三體

從流浪地球到三體(英語: From the Wandering Earth to Three-Body)是中國作家吳言的非小說類。它解釋中國作家劉慈欣的星系，包括出版他最著名的作品，《流浪地球》(銀河獎 2000) 和《三體》(銀河獎 2006)。

三體中的物理學

三體中的物理學(英語: Physics in Three-Body)是中國作家李淼的非小說類。它解釋三體三部曲里的概念背後的物理學(也見三體用語列表)。

分類空間

另見

• 正交群的分類空間
• 酉群的分類空間
• 特殊正交群的分類空間
• 特殊酉群的分類空間

外部連結

• Classifying space在nLab

希爾伯特流形

希爾伯特流形是

參見

• 巴拿赫流形
• 弗雷歇流形

外部連結

• Hilbert manifold在nLab

巴拿赫流形

巴拿赫流形是

參見

• 希爾伯特流形
• 弗雷歇流形

外部連結

• Banach manifold在nLab

弗雷歇流形

弗雷歇流形是

參見

• 希爾伯特流形
• 巴拿赫流形

外部連結

• Fréchet manifold在nLab

希爾伯特-李群

希爾伯特-李群是希爾伯特流形

參見

• 巴拿赫-李群
• 弗雷歇-李群

外部連結

• Hilbert Lie group在nLab

巴拿赫-李群

巴拿赫-李群是巴拿赫流形

參見

• 希爾伯特-李群
• 弗雷歇-李群

外部連結

• Banach Lie group在nLab

弗雷歇-李群

弗雷歇-李群是弗雷歇流形

參見

• 希爾伯特-李群
• 巴拿赫-李群

外部連結

• Fréchet Lie group在nLab

希爾伯特-李代數

希爾伯特-李代數是希爾伯特空間

參見

• 巴拿赫-李代數
• 弗雷歇-李代數

外部連結

• Hilbert Lie algebra在nLab

巴拿赫-李代數

巴拿赫-李代數是巴拿赫空間

參見

• 希爾伯特-李代數
• 弗雷歇-李代數

外部連結

• Banach Lie algebra在nLab

弗雷歇-李代數

弗雷歇-李代數是弗雷歇空間

參見

• 希爾伯特-李代數
• 巴拿赫-李代數

外部連結

• Fréchet Lie algebra在nLab