User:Samuel Adrian Antz/Drafts

二维杨-米尔斯理论

在微分几何中，二维杨-米尔斯理论(也D=2杨-米尔斯理论，短D=2 YM)是在二维度流形上的特例。在这种特殊情况下，可以在主纤维束的所有连接空间及其轨道空间上构建关于轨距组的杨-米尔斯测度。

基础知识

让$G$是一个具有李代数${\mathfrak {g}}$的李群，$E\rightarrow B$是一个$G$-主丛，其中$B$是一个可定向黎曼2-流形。让$A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$是联络与$F_{A}:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$是曲率形式。由于$B$是二维的，因此可以对$\operatorname {tr} (F_{A})\in \Omega ^{2}(B)$（也写为$\langle F_{A}\rangle$）进行积分。（这需要黎曼结构。）由于彼得-魏尔定理，存在一个包含$G<\operatorname {U} (n)$。根据陈-韦伊理论，这给出了主纤维束的第一陈类（定义为配丛$E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow B$的第一陈类）：

$\langle c_{1}(E),[B]\rangle =\langle c_{1}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle =-{\frac {i}{2\pi }}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A})\in \mathbb {Z} .$

为简化起见，第一陈类$c_{1}(E)\in H^{2}(B;\mathbb {Z} )$与定向（也包含在积分中）给出的类$[B]\in H_{2}(B,\mathbb {Z} )$的克罗内克配对经常被省略。然而，在这种情况下，方程是将一个余调类与一个整数进行比较。

特例

在杨-米尔斯方程$\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$中，霍奇对偶$\star$也应用于曲率形式$F_{A}$。为了$B$是二维的，因此会产生一个0-微分形式$\star F_{A}\in \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))=\Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$。

应用于2-球面

简单的2-流形是2-球面$S^{2}$。复数霍普夫纤维化$h_{\mathbb {C} }\colon S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}$是$S^{2}$上的一个$\operatorname {U} (1)$-主丛。这种主丛应于三维磁单极子（也称为狄拉克磁单极子）电荷的量子化。这与它们的整数分类相对应：

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(S^{2})\cong [S^{2},\operatorname {BU} (1)]=\pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z} .$

另见

• 四维杨米尔斯理论

参考文献

• Gerard 't Hooft, A Two-Dimensional Model For Mesons, Nucl. Phys. B 75, 1974, 75: 461–470, doi:10.1016/0550-3213(74)90088-1 （英语） 
• Dana S. Fine, Quantum Yang-Mills on the two-sphere, Communications in Mathematical Physics 134, 1990, 134: 273–292, doi:10.1007/BF02097703 （英语） 
• Dana S. Fine, Quantum Yang-Mills on a Riemann surface, Communications in Mathematical Physics 140, 1991, 140: 321–338, doi:10.1007/BF02099502 （英语） 
• Ambar Sengupta, The Yang-Mills measure for S2, Journal of Functional Analysis 108 (2), 1992, 108 (2): 231–273, doi:10.1016/0022-1236(92)90025-E （英语） 
• Ambar Sengupta, Quantum Gauge Theory on Compact Surfaces, Annals of Physics 221 (1), 1993, 221 (1): 17–52, doi:10.1006/aphy.1993.1002 （英语） 

外部链接

• D=2 Yang-Mills theory在nLab

四维杨-米尔斯理论

在微分几何中，四维杨-米尔斯理论(也D=4杨-米尔斯理论，短D=4 YM)是在四维度流形上的特例。在这种特殊情况下，允许将二阶杨-米尔斯方程还原为更简单的一阶（反）自双杨-米尔斯方程。

基础知识

让$G$是一个具有李代数${\mathfrak {g}}$的李群，$E\rightarrow B$是一个$G$-主丛，其中$B$是一个可定向黎曼4-流形。让$A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$是联络与$F_{A}:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$是曲率形式。由于$B$是四维的，因此可以对$\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \Omega ^{4}(B)$（也写为$\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle$）进行积分。（这需要黎曼结构。）由于彼得-魏尔定理，存在一个包含$G<\operatorname {U} (n)$。 根据陈-韦伊理论，这给出了主纤维束的第二陈类（定义为配丛$E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow B$的第二陈类）：

$\langle c_{2}(E),[B]\rangle =\langle c_{2}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle ={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \mathbb {Z} .$

为简化起见，第一陈类$c_{2}(E)\in H^{4}(B;\mathbb {Z} )$与定向（也包含在积分中）给出的类$[B]\in H_{4}(B,\mathbb {Z} )$的克罗内克配对经常被省略。然而，在这种情况下，方程是将一个余调类与一个整数进行比较。

特例

在杨-米尔斯方程$\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$中，霍奇对偶$\star$也应用于曲率形式$F_{A}$。为了$B$是四维的，因此会产生一个2-微分形式$\star F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$。

应用于4-球面

简单的4-流形是4-球面$S^{4}$。四元数霍普夫纤维化$h_{\mathbb {H} }\colon S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}$是$S^{4}$上的一个$\operatorname {Sp} (1)$-主丛。这种主丛应于三维磁单极子（也称为吴-杨磁单极子）电荷的量子化。这与它们的整数分类相对应：

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {Sp} (1)}(S^{4})\cong [S^{4},\operatorname {BSp} (1)]=\pi _{4}\operatorname {BSp} (1)\cong \pi _{3}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{3}S^{3}\cong \mathbb {Z} .$

另见

• 二维杨米尔斯理论

参考文献

外部链接

• D=4 Yang-Mills theory在nLab

O(n)的分类空间

数学中，特别是K-理论与代数拓扑中，正交群$\operatorname {O} (n)$的分类空间$\operatorname {BO} (n)$是通用$\operatorname {O} (n)$主丛$\operatorname {EO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (n)$的基空间。這意味著，CW复形上的$\operatorname {O} (n)$主丛直到同构都与进入$\operatorname {BO} (n)$的连续映射的同倫类是雙射的。同構是透過拉回丛的。

定義

有一个由$\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$给出的实数格拉斯曼流形的典型包含。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {BO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k}).$

最简单的例子

• $\operatorname {BO} (1)$是无穷维实射影空间$\mathbb {R} P^{\infty }$。（为了$\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{k})=\mathbb {R} P^{k}$。）

主丛的分类

给定拓扑空间$X$，其上直到同构的$\operatorname {O} (n)$主丛集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {O} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW复形，则映射：

$[X,\operatorname {BO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {O} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {EO} (n)$

是雙射的。

上同调环

系数取$\mathbb {Z} _{2}$的上同调环是:

$H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].$

无穷分类空间

典范夹杂$\operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)$在它们各自的分类空间上引起典范夹杂$\operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)$。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {O} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n);$

$\operatorname {BO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BO} (n).$

$\operatorname {BO}$确实是$\operatorname {O}$的分类空间。

另见

• 酉群的分类空间
• 特殊正交群的分类空间
• 特殊酉群的分类空间

参考文献

• Milnor, John; Stasheff, James. Characteristic classes (PDF). Princeton University Press. 1974. ISBN 9780691081229. doi:10.1515/9781400881826 （英语）. 
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79160-X （英语）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部链接

• BO(n)在nLab

U(n)的分类空间

数学中，特别是K-理论与代数拓扑中，酉群$\operatorname {U} (n)$的分类空间$\operatorname {BU} (n)$是通用$\operatorname {U} (n)$主丛$\operatorname {EU} (n)\rightarrow \operatorname {BU} (n)$的基空间。這意味著，CW复形上的$\operatorname {U} (n)$主丛直到同构都与进入$\operatorname {BU} (n)$的连续映射的同倫类是雙射的。同構是透過拉回丛的。

定義

有一个由$\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$给出的复数格拉斯曼流形的典型包含。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {BU} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k}).$

最简单的例子

• $\operatorname {BU} (1)$是无穷维复射影空间$\mathbb {C} P^{\infty }$。（为了$\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {C} ^{k})=\mathbb {C} P^{k}$。）

主丛的分类

给定拓扑空间$X$，其上直到同构的$\operatorname {U} (n)$主丛集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW复形，则映射：

$[X,\operatorname {BU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {EU} (n)$

是雙射的。

上同调环

系数取$\mathbb {Z}$的上同调环是:

$H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].$

无穷分类空间

典范夹杂$\operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)$在它们各自的分类空间上引起典范夹杂$\operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)$。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);$

$\operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).$

$\operatorname {BU}$确实是$\operatorname {U}$的分类空间。

另见

• 正交群的分类空间
• 特殊正交群的分类空间
• 特殊酉群的分类空间

参考文献

• Milnor, John; Stasheff, James. Characteristic classes (PDF). Princeton University Press. 1974. ISBN 9780691081229. doi:10.1515/9781400881826 （英语）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部链接

• BU(n)在nLab

SO(n)的分类空间

数学中，特别是K-理论与代数拓扑中，特殊正交群$\operatorname {SO} (n)$的分类空间$\operatorname {BSO} (n)$是通用$\operatorname {SO} (n)$主丛$\operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$的基空间。這意味著，CW复形上的$\operatorname {SO} (n)$主丛直到同构都与进入$\operatorname {BSO} (n)$的连续映射的同倫类是雙射的。同構是透過拉回丛的。

定義

有一个由${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$给出的可定向实数格拉斯曼流形的典型包含。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).$

最简单的例子

• 由于$\operatorname {SO} (1)\cong 1$是琐碎群，$\operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}$适用。
• 由于$\operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)$，$\operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$适用。

主丛的分类

给定拓扑空间$X$，其上直到同构的$\operatorname {SO} (n)$主丛集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW复形，则映射：

$[X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)$

是雙射的。

上同调环

系数取$\mathbb {Z} _{2}$的上同调环是:

$H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].$

无穷分类空间

典范夹杂$\operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)$在它们各自的分类空间上引起典范夹杂$\operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)$。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n);$

$\operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n).$

$\operatorname {BSO}$确实是$\operatorname {SO}$的分类空间。

另见

• 正交群的分类空间
• 酉群的分类空间
• 特殊酉群的分类空间

参考文献

• Milnor, John; Stasheff, James. Characteristic classes (PDF). Princeton University Press. 1974. ISBN 9780691081229. doi:10.1515/9781400881826 （英语）. 
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79160-X （英语）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部链接

• BSO(n)在nLab

SU(n)的分类空间

数学中，特别是K-理论与代数拓扑中，特殊酉群$\operatorname {SU} (n)$的分类空间$\operatorname {BSU} (n)$是通用$\operatorname {U} (n)$主丛$\operatorname {ESU} (n)\rightarrow \operatorname {BSU} (n)$的基空间。這意味著，CW复形上的$\operatorname {SU} (n)$主丛直到同构都与进入$\operatorname {BSU} (n)$的连续映射的同倫类是雙射的。同構是透過拉回丛的。

定義

有一个由${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$给出的可定向复数格拉斯曼流形的典型包含。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {BSU} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k}).$

最简单的例子

• 由于$\operatorname {SU} (1)\cong 1$是琐碎群，$\operatorname {BSU} (1)\cong \{*\}$适用。
• 由于$\operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)$，$\operatorname {BSU} (2)\cong \operatorname {BSp} (1)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$适用。

主丛的分类

给定拓扑空间$X$，其上直到同构的$\operatorname {SU} (n)$主丛集合用$\operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X)$表示。如果$X$是CW复形，则映射：

$[X,\operatorname {BSU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESU} (n)$

是雙射的。

上同调环

系数取$\mathbb {Z}$的上同调环是:

$H^{*}(\operatorname {BSU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{2},\ldots ,c_{n}].$

无穷分类空间

典范夹杂$\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SU} (n+1)$在它们各自的分类空间上引起典范夹杂$\operatorname {BSU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSU} (n+1)$。它们各自的余极限记为：

$\operatorname {SU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SU} (n);$

$\operatorname {BSU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSU} (n).$

$\operatorname {BSU}$确实是$\operatorname {SU}$的分类空间。

另见

• 正交群的分类空间
• 酉群的分类空间
• 特殊正交群的分类空间

参考文献

• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79160-X （英语）. 
• Mitchell, Stephen. Universal principal bundles and classifying spaces (PDF). August 2001. 

外部链接

• BSU(n)在nLab

同倫球面

数学中，特别是代数拓扑中，同倫球面是

定義

性質

例子

• $n$-维球面$S^{n}$显然就是$n$-同倫球面。

外部链接

• homotopy sphere在nLab

有理同倫球面

数学中，特别是代数拓扑中，有理同倫$n$-球面是$n$维流形，具有与$n$-球相同的有理同倫群。除其他外，这些信息有助于了解空间的有理同倫群能够或不能测量哪些信息，以及与空间的（积分）同倫群相比，忽略扭化会导致哪些衰减。

定义

有理同倫$n$-球面是$n$-维流形$\Sigma$，具有与$n$-球$S^{n}$相同的有理同倫群:

$\pi _{k}(\Sigma )\otimes \mathbb {Q} =\pi _{k}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=n{\text{ if }}n{\text{ even}}\\\mathbb {Z} &;k=n,2n-1{\text{ if }}n{\text{ odd}}\\1&;{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

性質

例子

• $n$维球面$S^{n}$显然就是有理同倫$n$-球面。
• 伪圆是有理同倫$1$-球面，但不是同倫$1$-球面。
• 实射影空间$\mathbb {R} P^{n}$是对于所有$n>0$的有理同伦球面。

另见

• 有理同调球面

参考文献

• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 

外部链接

• rational homotopy sphere在nLab

有理同调球面

数学中，特别是代数拓扑中，有理同调$n$-球面是$n$维流形，具有与$n$-球相同的有理同调群。除其他外，这些信息有助于了解空间的有理同调群能够或不能测量哪些信息，以及与空间的（积分）同调群相比，忽略扭化会导致哪些衰减。

定义

有理同调$n$-球面是$n$-维流形$\Sigma$，具有与$n$-球$S^{n}$相同的有理同调群:

$H_{k}(\Sigma ,\mathbb {Q} )=H_{k}(S^{n},\mathbb {Q} )\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ or }}k=n\\1&;{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

性質

例子

• $n$维球面$S^{n}$显然就是有理同调$n$-球面。
• 庞加莱同调球面尤其是有理同调$3$-球面。
• 实射影空间$\mathbb {R} P^{n}$是对于奇数$n>0$的有理同伦球面。

另见

• 有理同倫球面

参考文献

• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 

外部链接

• rational homology sphere在nLab

杨-米尔斯方程

在数学中，特别微分几何中，杨-米尔斯方程（YM方程）是

杨-米尔斯方程以杨振宁与罗伯特·米尔斯命名。

定义

让$G$是一个具有李代数${\mathfrak {g}}$的紧凑李群。让$E\twoheadrightarrow B$是一个$G$-主丛，$B$是一个紧凑的可定向黎曼流形，具有度量$g$与体积形式$\operatorname {vol} _{g}$。 让$\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$是它的伴随丛。$\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$是联络的空间。由于霍奇对偶⋆是在基流形$B$上定义的，需要度量 $g$和体积形式$\operatorname {vol} _{g}$，因此通常使用第二个空间。

杨-米尔斯作用量由以下公式给出：

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

又见

• 杨-米尔斯-希格斯方程組

外部链接

• Yang-Mills equation 在 nLab

稳定杨-米尔斯联络

在数学中，特别微分几何中，稳定杨-米尔斯联络（稳定YM联络）是

稳定杨-米尔斯联络以杨振宁与罗伯特·米尔斯命名。

又见

• 稳定杨-米尔斯-希格斯对

外部链接

• stable Yang-Mills equation 在 nLab

杨-米尔斯流

使用一条流动线实现梯度下降的可视化

在数学中，特别微分几何中，杨-米尔斯流（YM流）是杨-米尔斯作用量的梯度流。它利用杨-米尔斯方程描述了梯度下降法。

杨-米尔斯流以杨振宁与罗伯特·米尔斯命名。

定义

杨-米尔斯作用量由以下公式给出：

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

XXXX：

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(\alpha (t))=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}$

是杨-米尔斯流。

又见

• 杨-米尔斯-希格斯流
• 塞伯格-维腾流

延伸阅读

• Kelleher, Casey Lynn; Streets, Jeffrey. Singularity formation of the Yang-Mills flow. 2016-02-09. arXiv:1602.03125 . 
• Alex, Waldron. Long-time existence for Yang-Mills flow. 2016-10-16. arXiv:1610.03424 . 
• Zhang, Pan. Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 2020-03-30. arXiv:2004.00420 . 

外部链接

• Yang-Mills flow 在 nLab

杨-米尔斯-希格斯方程组

在数学中，特别微分几何中，杨-米尔斯-希格斯方程组（YMH方程組）是

杨-米尔斯-希格斯方程组以杨振宁，罗伯特·米尔斯与彼得·希格斯命名。

定义

杨-米尔斯-希格斯作用量由以下公式给出：

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

又见

• 杨-米尔斯方程

外部链接

• Yang-Mills-Higgs equations 在 nLab

稳定杨-米尔斯-希格斯对

在数学中，特别微分几何中，稳定杨-米尔斯-希格斯对（稳定YMH对）是

稳定杨-米尔斯-希格斯对以杨振宁，罗伯特·米尔斯与彼得·希格斯命名。

又见

• 稳定杨-米尔斯联络

外部链接

• stable Yang-Mills-Higgs pair 在 nLab

杨-米尔斯-希格斯流

使用一条流动线实现梯度下降的可视化

在数学中，特别微分几何中，杨-米尔斯-希格斯流（YMH流）流是杨-米尔斯-希格斯作用量的梯度流。它利用杨-米尔斯-希格斯方程描述了梯度下降法。

杨-米尔斯-希格斯流以杨振宁，罗伯特·米尔斯与彼得·希格斯命名。

定义

杨-米尔斯-希格斯作用量由以下公式给出：

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

XXXX：

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{1}=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}-[\varphi (t),\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)]$

$\varphi '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{2}=-\delta _{\alpha (t)}\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)$

是杨-米尔斯-希格斯流。

又见

• 杨-米尔斯流
• 塞伯格-维腾流

延伸阅读

• Zhang, Pan. Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 2020-03-30. arXiv:2004.00420 . 
• Changpeng Pan, Zhenghan Shen, Pan Zhang. The Limit of the Yang-Mills-Higgs Flow for twisted Higgs pairs. 2023-01-04. arXiv:2301.02552 . 

外部链接

• Yang-Mills-Higgs flow 在 nLab

塞伯格-维腾方程组

在数学中，特别微分几何中，塞伯格-维腾方程组（SW方程組）是

塞伯格-维腾方程组以内森·塞伯格与爱德华·威滕命名。

定义

塞伯格-维腾作用量由以下公式给出：

外部链接

• Seiberg-Witten equations 在 nLab

塞伯格-维腾流

使用一条流动线实现梯度下降的可视化

在数学中，特别微分几何中，塞伯格-维腾流（SW流）是塞伯格-维腾作用量的梯度流。它利用塞伯格-维腾方程描述了梯度下降法。

塞伯格-维腾流以内森·塞伯格与爱德华·威滕命名。

定义

塞伯格-维腾作用量由以下公式给出：

又见

• 杨-米尔斯流
• 杨-米尔斯-希格斯流

延伸阅读

• Hong, Min-Chun Hong; Schabrun, Lorenz. Global Existence for the Seiberg-Witten Flow. 2009-09-10. arXiv:0909.1855 . 
• Schabrun, Lorenz. Seiberg-Witten Flow in Higher Dimensions. 2010-03-09. arXiv:1003.1765 . 

外部链接

• Seiberg-Witten flow 在 nLab

发条火箭

《发条火箭》(英语: The Clockwork Rocket)是澳大利亚作家格雷格·伊根于2011年创作的科幻小说。本书是“正交宇宙”(英语: Orthogonal)的第一部，由Night Shade Books与维克多·格兰茨出版社出版。三部曲的其他小說是《永恒烈焰》与《时间之箭》。

简介

背景

該小說獲得了 2012 年軌跡獎最佳科幻小說獎提名，並獲得第 13 名。

日文譯本於 2016 年由 Hayakawa Publishing 出版。 譯者為山岸真与中村融。

外部链接

• 官方網站
• 《發條火箭》在網路推想小說資料庫(ISFDB)
• 摘自《發條火箭》

永恒烈焰

《永恒烈焰》(英语: The Eternal Flame)是澳大利亚作家格雷格·伊根于2012年创作的科幻小说。本书是“正交宇宙”(英语: Orthogonal)的第二部，由Night Shade Books与维克多·格兰茨出版社出版。三部曲的其他小說是《发条火箭》与《时间之箭》。

简介

背景

該小說獲得了 2013 年軌跡獎最佳科幻小說獎提名，並獲得第 20 名。

日文譯本於 2016 年由 Hayakawa Publishing 出版。 譯者為山岸真与中村融。

外部链接

• 官方網站
• 《永恆烈焰》在網路推想小說資料庫(ISFDB)
• 摘自《永恆烈焰》

时间之箭

《时间之箭》(英语: The Arrows of Time)是澳大利亚作家格雷格·伊根于2013年创作的科幻小说。本书是“正交宇宙”(英语: Orthogonal)的第三部，由Night Shade Books与维克多·格兰茨出版社出版。三部曲的其他小說是《发条火箭》与《永恒烈焰》。

简介

背景

該小說獲得了 2014 年軌跡獎最佳科幻小說獎提名，並獲得第 14 名。

日文譯本於 2017 年由 Hayakawa Publishing 出版。 譯者為山岸真与中村融。

外部链接

• 官方網站
• 《時間之箭》在網路推想小說資料庫(ISFDB)
• 摘自《時間之箭》

艾伦伯格-麦克兰恩空间

在代数拓扑学中，艾伦伯格-麦克兰恩空间(英语: Eilenberg–MacLane space)是一个特别的拓扑空间只有一个不琐碎既约同伦群。

定义

引理

• XXXX:

  $K(G\oplus H,n)\simeq K(G,n)\times K(H,n)$。

• 圈空间的一个艾伦伯格-麦克兰恩空间也是一个艾伦伯格–麦克兰恩空间:

  $\Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1)$。

• 多尔–德托姆定理(Dold–Thom theorem, 在Algebraic Topology中看到Theorem 4K.6.): 无限对称积的一个摩尔空间是一个艾伦伯格-麦克兰恩空间:

  $\operatorname {SP} (M(G,n))\simeq K(G,n)$。

• 根据定义，艾伦伯格-麦克兰恩空间$K(G,n)$是$n-1$-连接的。由胡列维茨定理得出:

  $H_{n}(K(G,n))\cong G$

  $H_{n+1}(K(G,n))\cong 1$。

例子

• $1$-球面$S^{1}$是$K(\mathbb {Z} ,1)$。(在Algebraic Topology中看到Example 1B.1.)
• $n$-环面$T^{n}$是$K(\mathbb {Z} ^{n},1)$。(在Algebraic Topology中看到Example 1B.5.)
• 无穷实射影空间$\mathbb {R} P^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} _{2},1)$。(在Algebraic Topology中看到Example 1B.3.)
• 无穷复射影空间$\mathbb {C} P^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} ,2)$。(在Algebraic Topology中看到Example 4.50.)

又见

• 摩尔空间，与同调类似的概念。
• 彼得森空间，与余调类似的概念。

摩尔空间

在代数拓扑学中，摩尔空间(英语: Moore space)是一个特别的CW复形只有一个不琐碎既约同调群。

定义

引理

• 双角锥的一个摩尔空间也是一个摩尔空间:

  $\Sigma M(G,n)\simeq M(G,n+1)$。

• 多尔–德托姆定理(Dold–Thom theorem, 在Algebraic Topology中看到Theorem 4K.6.): 无限对称积的一个摩尔空间是一个艾伦伯格–麦克兰恩空间:

  $\operatorname {SP} (M(G,n))\simeq K(G,n)$。

• 如果摩尔空间$M(G,n)$是单连通，使用胡列维茨定理$n-1$次给出$M(G,n)$是$n-1$-连接的和:

  $\pi _{n}(M(G,n))\cong G$。

例子

• $n$-球面$S^{n}$是$M(\mathbb {Z} ,n)$。
• 实射影平面$\mathbb {R} P^{2}$是$M(\mathbb {Z} _{2},1)$。所以它的$n$-次双角锥$\Sigma ^{n}\mathbb {R} P^{2}$是$M(\mathbb {Z} _{2},n+1)$。

又见

• 同调球面，一个特殊的摩尔空间。
• 艾伦伯格–麦克兰恩空间，与同伦类似的概念。
• 彼得森空间，与余调类似的概念。

彼得森空间

在代数拓扑学中，彼得森空间(英语: Peterson space)是一个特别的拓扑空间只有一个不琐碎既约余调群。

定义

引理

例子

• $n$-球面$S^{n}$是彼得森空间$P(\mathbb {Z} ,n)$。

又见

• 艾伦伯格–麦克兰恩空间，与同伦类似的概念。
• 摩尔空间，与同调类似的概念。

医院

《医院》是中国大陆作家韩松于2016年创作的科幻小說。本书是医院三部曲的第一部。三部曲的其他小說是《驱魔》与《亡灵》。

简介

背景

外部链接

• 《医院》在豆瓣
• 《医院》在網路推想小說資料庫(ISFDB)

驱魔

《驱魔》是中国大陆作家韩松于2017年创作的科幻小說。本书是医院三部曲的第二部。三部曲的其他小說是《医院》与《亡灵》。

简介

背景

外部链接

• 《驱魔》在豆瓣
• 《驱魔》在網路推想小說資料庫(ISFDB)

亡灵

《亡灵》是中国大陆作家韩松于2018年创作的科幻小說。本书是医院三部曲的第三部。三部曲的其他小說是《医院》与《驱魔》。

简介

背景

外部链接

• 《亡灵》在豆瓣
• 《亡灵》在網路推想小說資料庫(ISFDB)

从流浪地球到三体

从流浪地球到三体(英语: From the Wandering Earth to Three-Body)是中国作家吴言的非小说类。它解释中国作家刘慈欣的星系，包括出版他最著名的作品，《流浪地球》(银河奖 2000) 和《三体》(银河奖 2006)。

三体中的物理学

三体中的物理学(英语: Physics in Three-Body)是中国作家李淼的非小说类。它解释三体三部曲里的概念背后的物理学(也见三体用语列表)。

分类空间

另见

• 正交群的分类空间
• 酉群的分类空间
• 特殊正交群的分类空间
• 特殊酉群的分类空间

外部链接

• Classifying space在nLab

希尔伯特流形

希尔伯特流形是

参见

• 巴拿赫流形
• 弗雷歇流形

外部链接

• Hilbert manifold在nLab

巴拿赫流形

巴拿赫流形是

参见

• 希尔伯特流形
• 弗雷歇流形

外部链接

• Banach manifold在nLab

弗雷歇流形

弗雷歇流形是

参见

• 希尔伯特流形
• 巴拿赫流形

外部链接

• Fréchet manifold在nLab

希尔伯特-李群

希尔伯特-李群是希尔伯特流形

参见

• 巴拿赫-李群
• 弗雷歇-李群

外部链接

• Hilbert Lie group在nLab

巴拿赫-李群

巴拿赫-李群是巴拿赫流形

参见

• 希尔伯特-李群
• 弗雷歇-李群

外部链接

• Banach Lie group在nLab

弗雷歇-李群

弗雷歇-李群是弗雷歇流形

参见

• 希尔伯特-李群
• 巴拿赫-李群

外部链接

• Fréchet Lie group在nLab

希尔伯特-李代数

希尔伯特-李代数是希尔伯特空间

参见

• 巴拿赫-李代数
• 弗雷歇-李代数

外部链接

• Hilbert Lie algebra在nLab

巴拿赫-李代数

巴拿赫-李代数是巴拿赫空间

参见

• 希尔伯特-李代数
• 弗雷歇-李代数

外部链接

• Banach Lie algebra在nLab

弗雷歇-李代数

弗雷歇-李代数是弗雷歇空间

参见

• 希尔伯特-李代数
• 巴拿赫-李代数

外部链接

• Fréchet Lie algebra在nLab