草稿:吉爾薩諾夫定理

點評： (＊)提醒：AI很可能杜撰來源，所以一般不建議使用AI編寫條目。 1F616EMO（喵留言～回覆請ping） 2025年5月3日 (六) 13:09 (UTC)

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吉爾薩諾夫定理（Girsanov Theorem）是概率論與金融數學中的重要工具，主要用於研究隨機過程在不同概率測度下的行為，尤其是在測度變換下如何將帶有漂移項的隨機過程轉換為鞅。以下是該定理的核心內容與應用方向：

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### **1. 定理的核心思想**

吉爾薩諾夫定理的核心在於，通過引入**測度變換**（通常藉助Radon-Nikodym導數），可以將原概率測度下的隨機過程（如帶有漂移的布朗運動）轉換為新測度下的鞅。例如，若原測度下的布朗運動 \( B_t \) 具有漂移項 \( \mu t \)，則通過測度變換可構造新測度 \( Q \)，使得在新測度下 \( B_t - \mu t \) 為標準布朗運動（即鞅）。

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### **2. 數學表述**

設 \( (B_t)_{t \geq 0} \) 是概率測度 \( P \) 下的標準布朗運動，定義新測度 \( Q \) 的Radon-Nikodym導數為：

\[

\frac{dQ}{dP} \bigg|_{\mathcal{F}_t} = \exp\left( \int_0^t \theta_s dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2 ds \right),

\]

其中 \( \theta_t \) 是適應過程。則在測度 \( Q \) 下，過程 \( \tilde{B}_t = B_t + \int_0^t \theta_s ds \) 為標準布朗運動（即鞅）。

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### **3. 在金融數學中的應用**

吉爾薩諾夫定理在**風險中性定價**中具有核心地位。例如：

- **衍生品定價**：通過切換到風險中性測度 \( Q \)，標的資產的價格過程可轉換為鞅，從而簡化期權等衍生品的無套利定價（如Black-Scholes模型）。

- **測度變換與漂移調整**：在利率模型或隨機波動率模型中，定理用於消除原測度下的風險溢價，使定價公式獨立於投資者的風險偏好。

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### **4. 與鞅論的關係**

鞅的定義要求條件期望的穩定性，而吉爾薩諾夫定理通過測度變換使原本不滿足鞅性質的過程（如帶漂移的伊藤過程）在新測度下成為鞅。例如，在網頁2中提到：「要說明某一伊藤過程是鞅，則可以利用吉爾薩諾夫定理找出相關的測度」。

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### **5. 實際案例**

- **波動率建模**：在Heston模型中，吉爾薩諾夫定理用於將實際測度下的隨機波動率過程轉換為風險中性測度下的鞅。

- **信用風險**：在違約強度模型中，測度變換可用於分離違約風險的市場價格與物理概率。

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### **總結**

吉爾薩諾夫定理通過測度變換架起了不同概率空間下隨機過程的橋梁，尤其為金融衍生品定價提供了嚴格的數學基礎。其核心在於利用Radon-Nikodym導數調整漂移項，使複雜過程簡化為鞅，從而滿足無套利條件。