草稿:吉尔萨诺夫定理

点评： (＊)提醒：AI很可能杜撰來源，所以一般不建議使用AI編寫條目。 1F616EMO（喵留言～回覆請ping） 2025年5月3日 (六) 13:09 (UTC)

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吉尔萨诺夫定理（Girsanov Theorem）是概率论与金融数学中的重要工具，主要用于研究随机过程在不同概率测度下的行为，尤其是在测度变换下如何将带有漂移项的随机过程转换为鞅。以下是该定理的核心内容与应用方向：

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### **1. 定理的核心思想**

吉尔萨诺夫定理的核心在于，通过引入**测度变换**（通常借助Radon-Nikodym导数），可以将原概率测度下的随机过程（如带有漂移的布朗运动）转换为新测度下的鞅。例如，若原测度下的布朗运动 \( B_t \) 具有漂移项 \( \mu t \)，则通过测度变换可构造新测度 \( Q \)，使得在新测度下 \( B_t - \mu t \) 为标准布朗运动（即鞅）。

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### **2. 数学表述**

设 \( (B_t)_{t \geq 0} \) 是概率测度 \( P \) 下的标准布朗运动，定义新测度 \( Q \) 的Radon-Nikodym导数为：

\[

\frac{dQ}{dP} \bigg|_{\mathcal{F}_t} = \exp\left( \int_0^t \theta_s dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2 ds \right),

\]

其中 \( \theta_t \) 是适应过程。则在测度 \( Q \) 下，过程 \( \tilde{B}_t = B_t + \int_0^t \theta_s ds \) 为标准布朗运动（即鞅）。

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### **3. 在金融数学中的应用**

吉尔萨诺夫定理在**风险中性定价**中具有核心地位。例如：

- **衍生品定价**：通过切换到风险中性测度 \( Q \)，标的资产的价格过程可转换为鞅，从而简化期权等衍生品的无套利定价（如Black-Scholes模型）。

- **测度变换与漂移调整**：在利率模型或随机波动率模型中，定理用于消除原测度下的风险溢价，使定价公式独立于投资者的风险偏好。

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### **4. 与鞅论的关系**

鞅的定义要求条件期望的稳定性，而吉尔萨诺夫定理通过测度变换使原本不满足鞅性质的过程（如带漂移的伊藤过程）在新测度下成为鞅。例如，在网页2中提到：“要说明某一伊藤过程是鞅，则可以利用吉尔萨诺夫定理找出相关的测度”。

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### **5. 实际案例**

- **波动率建模**：在Heston模型中，吉尔萨诺夫定理用于将实际测度下的随机波动率过程转换为风险中性测度下的鞅。

- **信用风险**：在违约强度模型中，测度变换可用于分离违约风险的市场价格与物理概率。

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### **总结**

吉尔萨诺夫定理通过测度变换架起了不同概率空间下随机过程的桥梁，尤其为金融衍生品定价提供了严格的数学基础。其核心在于利用Radon-Nikodym导数调整漂移项，使复杂过程简化为鞅，从而满足无套利条件。