貝克隆德變換是兩個非線性偏微分方程之間的一對變換關係[1]。
兩個非線性偏微分方程
之間的貝克隆德變換,指的是這樣一對關係
貝克隆德變換是求非線性偏微分方程精確解的一種重要的變換。
1876年瑞典數學家貝克隆德發現正弦-戈爾登方程的不同解u、v
![{\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d6bba2c742729b79b64e867f7b90236e7b9a6d)
![{\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38751c63b1ac548d042d3ef9259e6904dae3c6e0)
之間有如下關係:[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}-2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{t}&=-u_{t}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4894592fd094f164786ae80d46ff5de5e56a648c)
這就是正弦-戈爾登方程的貝克隆德自變換。
將貝克隆德自變換第一式對t取微商,二式對x微商:
消除v即得
;
消除u項即得
![{\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38751c63b1ac548d042d3ef9259e6904dae3c6e0)
貝克隆德變換常用於求正弦-戈爾登方程、高維廣義Burger I型方程、高維廣義Burger II型方程的精確解:[3]
解正弦-戈爾登方程[編輯]
Sine-gordon kink2d
Sine-gordon 3D animation1
Sine-gordon 3D animation2
利用正弦-戈爾登方程的自貝克隆德變換解正弦-戈爾登方程:
由貝克隆德自變換
令v=0,得
,顯然
,兩邊對x積分,得:
對貝克隆德自變換第二式作同樣運算得:
經過三角函數運算,二式簡化為
二式相加得:
,
分離u得正弦-戈爾登方程的一個解析解:
又從
直接接求u得另外兩個解析解:
可積系統
KdV方程
參考文獻[編輯]
- ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
- ^ 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論及其應用》6頁科學出版社2007年
- ^ 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論及其應用》106-111頁科學出版社2007年