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貝克隆德變換

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貝克隆德變換是兩個非線性偏微分方程之間的一對變換關係[1]

兩個非線性偏微分方程

之間的貝克隆德變換,指的是這樣一對關係

貝克隆德變換是求非線性偏微分方程精確解的一種重要的變換。

1876年瑞典數學家貝克隆德發現正弦-戈爾登方程的不同解u、v

之間有如下關係:[2]

這就是正弦-戈爾登方程的貝克隆德自變換。

將貝克隆德自變換第一式對t取微商,二式對x微商:

消除v即得

消除u項即得

貝克隆德變換常用於求正弦-戈爾登方程高維廣義Burger I型方程高維廣義Burger II型方程的精確解:[3]

解正弦-戈爾登方程

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Sine-gordon kink2d
Sine-gordon 3D animation1
Sine-gordon 3D animation2

利用正弦-戈爾登方程的自貝克隆德變換解正弦-戈爾登方程:

由貝克隆德自變換令v=0,得

,顯然

,兩邊對x積分,得:

對貝克隆德自變換第二式作同樣運算得:

經過三角函數運算,二式簡化為

二式相加得:

分離u得正弦-戈爾登方程的一個解析解:

又從 直接接求u得另外兩個解析解:

另見

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可積系統

KdV方程

參考文獻

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  1. ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
  2. ^ 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論及其應用》6頁科學出版社2007年
  3. ^ 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論及其應用》106-111頁科學出版社2007年