無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用來顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數$f$，以觀察對某些$x$和$y$，會有$f(x)=f(y)$，來（錯誤地）做出$x=y$的結論。零除數是此類錯誤的一特例；$f$為將$x$映射至$x\times 0$的函數，而其錯誤的一步是起於將$x\times 0=y\times 0$的等式做成$x=y$的結論。相似地，下面證明了$5=4$的句子也是以函數$f(x)=x^{2}$的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個$x$和$y$會使得$x^{2}=y^{2}$的一正確申論，然後做出了$x=y$的一錯誤結論。

算術例子

證明1是最大的正整數

• 假設最大的正整數不是$1$，而是$a$，有$a>1$；

• $a>1>0$，$a$為正的，所以由$a>1$得到$a\times a>a$；

• 但是$a\times a$還是正整數，可是沒有任何正整數比$a$大，矛盾；

• 所以最大的正整數是1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

證明-1等於1

• 由一等式開始

  $-1=-1\,$

• 將兩邊轉成假分數

  ${\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}$

• 將兩邊開方

  ${\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}$

• 其會等於

  ${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$

• 兩邊同乘${\sqrt {-1}}$以來消去分數

  ${\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}$

• 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

  $-1=1\,$

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是實數，${\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}$推出${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}$是錯誤的（事實上，${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}=-i$，${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}=i$）。

證明1等於2

1.令$a=b\,$，且$a\neq 0$

2.將兩邊乘以a

$a^{2}=ab\,$

3.將兩邊減掉$b^{2}\,$

$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,$

4.將兩邊因式分解

$(a+b)(a-b)=b(a-b)\,$

5.將兩邊除以$a-b\,$

$a+b=b\,$

6.因為$a=b\,$因此

$b+b=b\,$

7.簡化

$2b=b\,$

8.將兩邊除以b

$2=1\,$

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，$\,$正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

證明4等於5

• 由一等式開始

  $-20=-20\,$

• 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

  $25-45=16-36\,$

• 將兩邊做因式分解

  $5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9$

• 將兩邊加上相同的數

  $5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}$

• 將兩邊再做一次因式分解

  $\left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}$

• 將兩邊開方

  $5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}$

• 消去相同的項

  $5=4\,$

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於$x^{2}=y^{2}$不表示$x=y$的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，$-\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}$。需注意的是，若將4減去${\tfrac {9}{2}}$，會得到$-{\tfrac {1}{2}}$。若再平方的話，則會得到正的${\tfrac {1}{4}}$。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見${\tfrac {1}{2}}$會等於${\tfrac {1}{2}}$。原始的$-20=-20$式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

證明1+1=0

• 求$1+1$︰

${\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}$

Q.E.D.

此證明的錯誤在於${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$只有在a與b不皆為負數才成立，${\sqrt {(-1)(-1)}}$並不等於${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}$。

證明0=1

首先，設定一個無窮級數。

$0=0+0+0+\cdots$

因為$0=1-1$，因此：

$0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

$0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$

$-1+1=0$，因此：

$0=1+0+0+0+\cdots$

$0=1\,$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 $s=1-1+1-1+1-1+\cdots$。

證明任何數字等於1/任何數字

$-{\frac {1}{b}}$

$=-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}$

$=-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}$

${\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}$

$-{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}$

$a={\frac {1}{a}}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，${\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}$ 不等於 ${\frac {1}{a}}$，正確等式應是${\frac {-{\frac {1}{b}}}{-{\frac {a}{b}}}}={\frac {1}{a}}$（下一步：${\frac {1}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {1}{a}}$）。

證明0/0等於0

首先，我們知道：

$0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,$

$0^{2}=0\times 0=0\,$

由於$a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$

因此${\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{4-2}=0^{2}=0$

因此${\frac {0}{0}}=0$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，$a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$成立的前提有$a\neq 0$。

證明任意兩數都是相等的

設$u=a\ ,\ v=b-c\,$
設$a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$

由和立方與差立方公式可知：

$(u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}$

$(u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}$

由於$u=a\ ,\ v=b-c\,$

$(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

$(a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

將$a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$代入$3a^{2}+b-c\,$，可得：

$3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,$

因此：

${\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}$

代入$b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$，可得：

${\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於：

1、在以上的假設下，可得$v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}$，所以$u$和$v$並不是獨立的；

2、在複數域中，由$x^{3}=y^{3}$得不出$x=y$。在此證明中，由$(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}$得出$a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}$是錯誤的。

幾何例子

第一題：證明任何三角形都是正三角形

第一題錯誤的證圖

第一題正確的證圖

第二題錯誤的證圖

第二題正確的證圖

給定三角形△ABC，證明AB = AC:

1. 作∠A的角平分線。
2. 作BC的垂直平分線，並設BC的中點為D。
3. 設這兩條直線的交點為P。
4. 從P向AB和AC作垂線，並設垂足為E和F。
5. 作直線PB和PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由於AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由於PD平分BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP由於△EAP ≅ △FAP；BP = CP由於△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由於它們是對頂角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

證畢。

這個證明的錯誤在於，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位於三角形的內部，而且AP與DP會重合。

第二題：證明直角等於鈍角

給定一個矩形ABCD，證明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 聯結AE。
3. 作BC、AE的中垂線，它們的垂足分別是G、F，兩條直線交於H。
4. 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的對邊相等，得AB=DC；加上作圖要求，得AB=EC。
6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
7. 由於HB=HC，則得∠HBC=∠HCB。
8. 等量減等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四個角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，由於△ABH≅△ECH，則∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋轉，因AH穿過了矩形ABCD，則EH是不可能穿過矩形ABCD的。

微積分例子

證明0等於1

我們從計算以下的不定積分開始：

$\int {\frac {1}{x}}dx$

利用分部積分法，可得：

$u={\frac {1}{x}}$，$dv=dx$

因此：

$du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx$，$v=x$

所以，有：

$\int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx$

$\int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx$

$0=1\,$

證畢。

這個證明的錯誤在於，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到$1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'$。

參見

• 悖論