无效证明

在数学里，有着许多明显矛盾的虚假证明存在。即使其证明是有缺陷的，其错误——通常是经过设计的——却常是较难抓摸的。这些谬误一般都尽止于好奇而已，但可以被用来显示严谨在数学中的重要性。

大多数此类的证明都仰赖着同种错误的变形。此一错误为采一非单射的函数$f$，以观察对某些$x$和$y$，会有$f(x)=f(y)$，来（错误地）做出$x=y$的结论。零除数是此类错误的一特例；$f$为将$x$映射至$x\times 0$的函数，而其错误的一步是起于将$x\times 0=y\times 0$的等式做成$x=y$的结论。相似地，下面证明了$5=4$的句子也是以函数$f(x)=x^{2}$的同一种错误造成的。其错误的一步始于有某个$x$和$y$会使得$x^{2}=y^{2}$的一正确申论，然后做出了$x=y$的一错误结论。

算术例子

证明1是最大的正整数

• 假设最大的正整数不是$1$，而是$a$，有$a>1$；

• $a>1>0$，$a$为正的，所以由$a>1$得到$a\times a>a$；

• 但是$a\times a$还是正整数，可是没有任何正整数比$a$大，矛盾；

• 所以最大的正整数是1。

Q.E.D.

此一证明是无效的，因为最大的正整数不存在，因此不能如此假设。

证明-1等于1

• 由一等式开始

  $-1=-1\,$

• 将两边转成假分数

  ${\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}$

• 将两边开方

  ${\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}$

• 其会等于

  ${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$

• 两边同乘${\sqrt {-1}}$以来消去分数

  ${\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}$

• 但任一数的开方之平方会给出原本的数来，故

  $-1=1\,$

Q.E.D.

此一证明是无效的，因为负数的开方不是实数，${\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}$推出${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}$是错误的（事实上，${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}=-i$，${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}=i$）。

证明1等于2

1.令$a=b\,$，且$a\neq 0$

2.将两边乘以a

$a^{2}=ab\,$

3.将两边减掉$b^{2}\,$

$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,$

4.将两边因式分解

$(a+b)(a-b)=b(a-b)\,$

5.将两边除以$a-b\,$

$a+b=b\,$

6.因为$a=b\,$因此

$b+b=b\,$

7.简化

$2b=b\,$

8.将两边除以b

$2=1\,$

Q.E.D.

这个证明的错误点在于第五步，$\,$正因为a=b所以a-b等于零，而除以零是无效的。

证明4等于5

• 由一等式开始

  $-20=-20\,$

• 将等式两边以稍微不同但相等的方式表示

  $25-45=16-36\,$

• 将两边做因式分解

  $5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9$

• 将两边加上相同的数

  $5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}$

• 将两边再做一次因式分解

  $\left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}$

• 将两边开方

  $5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}$

• 消去相同的项

  $5=4\,$

Q.E.D.

那一证明内的错误在于$x^{2}=y^{2}$不表示$x=y$的这一事实。到此之前的算术都是正确的，而事实上，$-\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}$。需注意的是，若将4减去${\tfrac {9}{2}}$，会得到$-{\tfrac {1}{2}}$。若再平方的话，则会得到正的${\tfrac {1}{4}}$。其下一个逻辑的数学步骤为取两边的平方。若这样做的话，则将会看见${\tfrac {1}{2}}$会等于${\tfrac {1}{2}}$。原始的$-20=-20$式子事实上是会导致一个正确的等式的（若此一问题是以此一纯粹的方式运算的话）。

证明1+1=0

• 求$1+1$︰

${\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}$

Q.E.D.

此证明的错误在于${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$只有在a与b不皆为负数才成立，${\sqrt {(-1)(-1)}}$并不等于${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}$。

证明0=1

首先，设定一个无穷级数。

$0=0+0+0+\cdots$

因为$0=1-1$，因此：

$0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$

拆括号之后在于不同的地方加上括号：

$0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$

$-1+1=0$，因此：

$0=1+0+0+0+\cdots$

$0=1\,$

Q.E.D.

这个证明的错误在于，无穷等比级数在公比的绝对值大于等于一的情况下，将括号插入无穷级数求无穷和是没有意义的，因为这样的无穷等比级数和发散。因此这类条件不适用于格兰迪级数 $s=1-1+1-1+1-1+\cdots$。

证明任何数字等于1/任何数字

$-{\frac {1}{b}}$

$=-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}$

$=-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}$

${\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}$

$-{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}$

$a={\frac {1}{a}}$

Q.E.D.

这个证明的错误在于，${\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}$ 不等于 ${\frac {1}{a}}$，正确等式应是${\frac {-{\frac {1}{b}}}{-{\frac {a}{b}}}}={\frac {1}{a}}$（下一步：${\frac {1}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {1}{a}}$）。

证明0/0等于0

首先，我们知道：

$0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,$

$0^{2}=0\times 0=0\,$

由于$a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$

因此${\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{4-2}=0^{2}=0$

因此${\frac {0}{0}}=0$

Q.E.D.

这个证明的错误在于，$a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$成立的前提有$a\neq 0$。

证明任意两数都是相等的

设$u=a\ ,\ v=b-c\,$
设$a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$

由和立方与差立方公式可知：

$(u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}$

$(u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}$

由于$u=a\ ,\ v=b-c\,$

$(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

$(a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

将$a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$代入$3a^{2}+b-c\,$，可得：

$3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,$

因此：

${\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}$

代入$b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$，可得：

${\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}$

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得$v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}$，所以$u$和$v$并不是独立的；

2、在复数域中，由$x^{3}=y^{3}$得不出$x=y$。在此证明中，由$(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}$得出$a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}$是错误的。

几何例子

第一题：证明任何三角形都是正三角形

第一题错误的证图

第一题正确的证图

第二题错误的证图

第二题正确的证图

给定三角形△ABC，证明AB = AC:

1. 作∠A的角平分线。
2. 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
3. 设这两条直线的交点为P。
4. 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
5. 作直线PB和PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC为等腰三角形，P才会位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

第二题：证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 联结AE。
3. 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
7. 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
8. 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子

证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始：

$\int {\frac {1}{x}}dx$

利用分部积分法，可得：

$u={\frac {1}{x}}$，$dv=dx$

因此：

$du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx$，$v=x$

所以，有：

$\int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx$

$\int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx$

$0=1\,$

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了积分完会出现的积分常数C。若继续计算，会得到$1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'$。

参见

• 悖论