沿纖維積分

沿纖維積分指在微分幾何中，對於一個 k-形式 沿著它的纖維作積分。這個運算產生一個 $(k-m)$-形式，其中m是通過「積分」的纖維的維度。又稱纖維積分。

定義

讓$\pi :E\to B$是一個流形上具有緊湊取向纖維的的纖維叢。如果 $\alpha$ 是 E 上的 k-形式，那麼對於 b 處的切向量 ω_i ，令

$(\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{k-m})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta$

這裡 $\beta$ 是纖維上誘導的頂部形式$\pi ^{-1}(b)$ ；即 $m$-形式 由以下給出：${\widetilde {w_{i}}}$ 作為 $w_{i}$ 到 $E$ 的提升，

$\beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).$

（為了明白 $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ 是平滑的，請用坐標把它計算出來；參見下面的例子。）

那麼 $\pi _{*}$是一個線性映射$\Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)$ 。根據斯托克斯公式，如果纖維沒有邊界（即$[d,\int ]=0$ ），映射下降到 德拉姆上同調：

$\pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).$

這也被稱為纖維積分。

現在假設$\pi$為球叢，即典型的纖維為球體。那麼有一個正合序列 $0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0$ ， K 是核，這會導致一個長正合序列，從而丟棄係數 $\mathbb {R}$ 並使用 $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$ ：

$\cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots$ ，

稱為Gysin序列。

例子

讓$\pi :M\times [0,1]\to M$ 是一個明顯的投影。首先假設$M=\mathbb {R} ^{n}$ 有坐標 $x_{j}$ 並考慮一個 k-形式：

$\alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.$

那麼在 M 中的每個點，

$\pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.$

從這個局部計算中，很容易得出下一個公式（參見龐加萊引理#直接證明）：如果$\alpha$是 $M\times [0,1]$ 上的任何k -形式 ，

$\pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )$

此處 $\alpha _{i}$ 是把 $\alpha$ 限制到$M\times \{i\}$ 的約束。

作為此公式的應用，讓 $f:M\times [0,1]\to N$ 是一個光滑映射（被認為是同倫）。然後構圖$h=\pi _{*}\circ f^{*}$是同倫算子（也稱為鏈同倫）：

$d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),$

這意味著$f_{1},f_{0}$在同調上誘導出同源映射，這一事實被稱為德拉姆上同調的同倫不變性。作為推論，例如，設 U 是R ⁿ中的一個開球，中心在原點，設$f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ 。然後$\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ ，這一事實被稱為龐加萊引理。

投影公式

給定一個在流形上的向量束 π: E → B ，如果限制$\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$對於B 中的每個 b 都有緊支持，我們稱E上的微分形式 α 具有垂直緊支撐。我們用 $\Omega _{vc}^{*}(E)$ 標記在 E 上具有垂直緊支撐的微分形式向量空間。如果 E 以向量束的形式定向，與前面完全一樣，我們可以定義沿纖維的積分：

$\pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).$

以下稱為投影公式。 令 $\alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta$，我們讓 $\Omega _{vc}^{*}(E)$ 成為一個正確的 $\Omega ^{*}(B)$-模塊

命題 — 令 $\pi :E\to B$ 是流形上的定向向量束且 $\pi _{*}$ 為其沿纖維積分. 那麼

1. $\pi _{*}$ 是 $\Omega ^{*}(B)$-線性 的; 即, 對於 B 上的任何微分形式和 E 上的任何微分形式 α 有垂直緊湊支撐,

   $\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .$

2. 如果 B 定向為流形，則對於具有垂直緊支撐的 E 上的任何形式 α 和具有緊支撐的 B 上的任何形式 β，

   $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$.

證明：1. 由於該斷言是局部的，我們可以假設π是平凡的：即 $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$是一個投影。讓$t_{j}$是纖維上的坐標。如果$\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$, 那麼，因為$\pi ^{*}$是環同態，

$\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .$

類似地，若α不包含dt ，則兩邊都為零。 2. 的證明類似 1.。 $\square$

參見

• 海侵地圖

參考

• Michele Audin ，辛流形上的環面作用，Birkhauser，2004
• Bott, Raoul; Tu, Loring, Differential Forms in Algebraic Topology, New York: Springer, 1982, ISBN 0-387-90613-4