沿纤维积分

沿纤维积分指在微分几何中，对于一个 k-形式 沿着它的纤维作积分。这个运算产生一个 $(k-m)$-形式，其中m是通过“积分”的纤维的维度。又称纤维积分。

定义

让$\pi :E\to B$是一个流形上具有紧凑取向纤维的的纤维丛。如果 $\alpha$ 是 E 上的 k-形式，那么对于 b 处的切向量 ω_i ，令

$(\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{k-m})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta$

这里 $\beta$ 是纤维上诱导的顶部形式$\pi ^{-1}(b)$ ；即 $m$-形式 由以下给出：${\widetilde {w_{i}}}$ 作为 $w_{i}$ 到 $E$ 的提升，

$\beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).$

（为了明白 $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ 是平滑的，请用坐标把它计算出来；参见下面的例子。）

那么 $\pi _{*}$是一个线性映射$\Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)$ 。根据斯托克斯公式，如果纤维没有边界（即$[d,\int ]=0$ ），映射下降到 德拉姆上同调：

$\pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).$

这也被称为纤维积分。

现在假设$\pi$为球丛，即典型的纤维为球体。那么有一个正合序列 $0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0$ ， K 是核，这会导致一个长正合序列，从而丢弃系数 $\mathbb {R}$ 并使用 $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$ ：

$\cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots$ ，

称为Gysin序列。

例子

让$\pi :M\times [0,1]\to M$ 是一个明显的投影。首先假设$M=\mathbb {R} ^{n}$ 有坐标 $x_{j}$ 并考虑一个 k-形式：

$\alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.$

那么在 M 中的每个点，

$\pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.$

从这个局部计算中，很容易得出下一个公式（参见庞加莱引理#直接证明）：如果$\alpha$是 $M\times [0,1]$ 上的任何k -形式 ，

$\pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )$

此处 $\alpha _{i}$ 是把 $\alpha$ 限制到$M\times \{i\}$ 的约束。

作为此公式的应用，让 $f:M\times [0,1]\to N$ 是一个光滑映射（被认为是同伦）。然后构图$h=\pi _{*}\circ f^{*}$是同伦算子（也称为链同伦）：

$d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),$

这意味着$f_{1},f_{0}$在同调上诱导出同源映射，这一事实被称为德拉姆上同调的同伦不变性。作为推论，例如，设 U 是R ⁿ中的一个开球，中心在原点，设$f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ 。然后$\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ ，这一事实被称为庞加莱引理。

投影公式

给定一个在流形上的向量束 π: E → B ，如果限制$\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$对于B 中的每个 b 都有紧支持，我们称E上的微分形式 α 具有垂直紧支撑。我们用 $\Omega _{vc}^{*}(E)$ 标记在 E 上具有垂直紧支撑的微分形式向量空间。如果 E 以向量束的形式定向，与前面完全一样，我们可以定义沿纤维的积分：

$\pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).$

以下称为投影公式。 令 $\alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta$，我们让 $\Omega _{vc}^{*}(E)$ 成为一个正确的 $\Omega ^{*}(B)$-模块

命题 — 令 $\pi :E\to B$ 是流形上的定向向量束且 $\pi _{*}$ 为其沿纤维积分. 那么

1. $\pi _{*}$ 是 $\Omega ^{*}(B)$-线性 的; 即, 对于 B 上的任何微分形式和 E 上的任何微分形式 α 有垂直紧凑支撑,

   $\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .$

2. 如果 B 定向为流形，则对于具有垂直紧支撑的 E 上的任何形式 α 和具有紧支撑的 B 上的任何形式 β，

   $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$.

证明：1. 由于该断言是局部的，我们可以假设π是平凡的：即 $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$是一个投影。让$t_{j}$是纤维上的坐标。如果$\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$, 那么，因为$\pi ^{*}$是环同态，

$\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .$

类似地，若α不包含dt ，则两边都为零。 2. 的证明类似 1.。 $\square$

参见

• 海侵地图

参考

• Michele Audin ，辛流形上的环面作用，Birkhauser，2004
• Bott, Raoul; Tu, Loring, Differential Forms in Algebraic Topology, New York: Springer, 1982, ISBN 0-387-90613-4