概形(英語:scheme)是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的論文《代數幾何基礎》中提出的,其中一個目的是為了解決代數幾何中的一些問題,例如威爾猜想[1]。建立在交換代數的基礎之上,概形理論允許使用拓撲學、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一,這也使得懷爾斯得以證明費馬最後定理。
給定一個局部賦環空間
,如果對
的一個開集
,
是仿射概形,稱
爲仿射開集。
一個局部賦環空間
稱爲概形,如果
的每一點
都有仿射開鄰域,即包含
的仿射開集。
直觀上說,概形是由仿射概形粘起來得到的,正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。
兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。
全體概形構成範疇,其態射取為局部賦環空間之間的態射(另見概形的態射)。給定概形
,所謂
之上的概形
(又稱
-概形)即是概形間的態射
。交換環
上的概形
即是態射
。
域
上的代數簇可定義為
上的滿足特定條件的概形,但對於具體何種概形可稱為簇,有不同約定,其中一種定義為
之上有限型的整、分離概形。[2]
態射
確定了正則函數環上的拉回同態
。對於仿射概形,此構造給出概形態射
與環同態
之間的一一對應。此意義下,概形論包含了交換環論的全部內容。
由於
是交換環範疇的始對象,概形範疇對應以
為終對象。對於交換環
上的概形
,所謂
的
值點即是態射
的截面,全體
值點的集合記作
,其對應的古典概念是定義
的方程組在
中的解集。若
實為域
,則
亦稱為
的
-有理點集。
推而廣之,設有交換環
,其上有概形
和交換代數
,則
的
值點定義為
之上的態射
(該態射需要與射向
的態射組成交換圖表),
值點的集合記作
。(類比到方程組的情況,相當於將某個域
擴張成
,再考慮
中的解集。)固定
及其上的概形
時,映射
為自交換
代數範疇至集合範疇的函子。
上的概形
可從此點函子確定。
概形的纖維積總存在:對任意兩態射
,皆可在概形範疇內找到纖維積
(即範疇學拉回)。若
為域
上的概形,則兩者在
上的纖維積可以視為
-概形範疇中的積,例如仿射空間
與
在
上之積正是
。
由於概形範疇既有纖維積,又有終對象
,其有齊全部有限極限。
概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為「預概形」(法語:préschéma,英語:prescheme),1967年左右改稱現名。
概形的中文名稱源自日文「概型」。
- 仿射概形的開子集不一定仿射,因此需要考慮(非仿射的)一般概形。例如,設
(基域取複域
為例),則當
時,
不為仿射。(但對於
的情況,仿射直線挖去原點,同構於仿射概形
。)欲證
非仿射,可以證出當
時,
上的每個正則映射,皆可延拓至
上。(對正則映射較易證明;對解析函數,則是複分析的哈托格斯延拓定理)。換言之,嵌入
導出自
至
的環同構。假若
仿射,將由此得出
本身亦為同構,但
不為滿射,矛盾。因此,概形
不為仿射。[5]
- 設
為域,則可數積
的譜
為仿射概形,底下的拓撲空間為正整數集(離散)的斯通-切赫緊化,因為質理想與正整數集上的超濾子一一對應:超濾子
對應質理想
特別地,正整數
對應的主超濾子,對應的質理想是
。本例仿射概形為零維空間,故而每點自成一個既約分支。由於仿射概形皆擬緊,本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。(諾特概形則與之相對,衹有有限多個既約分支。)