概形(英语:scheme)是代数几何学中的一个基本概念。概形是由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出的,其中一个目的是为了解决代数几何中的一些问题,例如威尔猜想[1]。建立在交换代数的基础之上,概形理论允许使用拓扑学、同调代数中有系统的方法。概形理论也将许多代数几何和数论的问题统一,这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。
给定一个局部赋环空间
,如果对
的一个开集
,
是仿射概形,称
为仿射开集。
一个局部赋环空间
称为概形,如果
的每一点
都有仿射开邻域,即包含
的仿射开集。
直观上说,概形是由仿射概形粘起来得到的,正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。
两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。
全体概形构成范畴,其态射取为局部赋环空间之间的态射(另见概形的态射)。给定概形
,所谓
之上的概形
(又称
-概形)即是概形间的态射
。交换环
上的概形
即是态射
。
域
上的代数簇可定义为
上的满足特定条件的概形,但对于具体何种概形可称为簇,有不同约定,其中一种定义为
之上有限型的整、分离概形。[2]
态射
确定了正则函数环上的拉回同态
。对于仿射概形,此构造给出概形态射
与环同态
之间的一一对应。此意义下,概形论包含了交换环论的全部内容。
由于
是交换环范畴的始对象,概形范畴对应以
为终对象。对于交换环
上的概形
,所谓
的
值点即是态射
的截面,全体
值点的集合记作
,其对应的古典概念是定义
的方程组在
中的解集。若
实为域
,则
亦称为
的
-有理点集。
推而广之,设有交换环
,其上有概形
和交换代数
,则
的
值点定义为
之上的态射
(该态射需要与射向
的态射组成交换图表),
值点的集合记作
。(类比到方程组的情况,相当于将某个域
扩张成
,再考虑
中的解集。)固定
及其上的概形
时,映射
为自交换
代数范畴至集合范畴的函子。
上的概形
可从此点函子确定。
概形的纤维积总存在:对任意两态射
,皆可在概形范畴内找到纤维积
(即范畴学拉回)。若
为域
上的概形,则两者在
上的纤维积可以视为
-概形范畴中的积,例如仿射空间
与
在
上之积正是
。
由于概形范畴既有纤维积,又有终对象
,其有齐全部有限极限。
概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”(法语:préschéma,英语:prescheme),1967年左右改称现名。
概形的中文名称源自日文“概型”。
- 仿射概形的开子集不一定仿射,因此需要考虑(非仿射的)一般概形。例如,设
(基域取复域
为例),则当
时,
不为仿射。(但对于
的情况,仿射直线挖去原点,同构于仿射概形
。)欲证
非仿射,可以证出当
时,
上的每个正则映射,皆可延拓至
上。(对正则映射较易证明;对解析函数,则是复分析的哈托格斯延拓定理)。换言之,嵌入
导出自
至
的环同构。假若
仿射,将由此得出
本身亦为同构,但
不为满射,矛盾。因此,概形
不为仿射。[5]
- 设
为域,则可数积
的谱
为仿射概形,底下的拓扑空间为正整数集(离散)的斯通-切赫紧化,因为质理想与正整数集上的超滤子一一对应:超滤子
对应质理想
特别地,正整数
对应的主超滤子,对应的质理想是
。本例仿射概形为零维空间,故而每点自成一个既约分支。由于仿射概形皆拟紧,本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。(诺特概形则与之相对,只有有限多个既约分支。)